一般地，形如的一阶微分方程称为可分离变量的一阶微分方程.当g（y）≠0时，方程（7.2.1）可写为这样一来，变量y与x便被分离在等号的两端了.设f（x）与g（x）都连续，求解方程（7.2.1），就是要寻找函数y=y（x），将它代入方程（7.2.1）后，能使此方程成为恒等式.从而，当g（y）≠0时，就有在解微分方程时，为了突出任意常数C，常把中所含的任意常数C明确写出来.根据不定积分的第一换元法，得......
2023-10-19
高数上册：变量与数集
【摘要】：表示常量，用字母x，y，z，t，…
我们在观察某个自然现象或变化过程时，会遇到许多数量，这些数量一般可分为两类：有一类如面积、体积、长度等在该过程中保持不变的量，称之为常量；另一类在该过程中不断变化的量，称之为变量.例如在观察圆的面积大小变化时，直径与周长都是变量，而圆的周长与直径的比值（圆周率）π是一个常量；在自由落体运动中，物体的下降速度、下降时间及下降距离都是变量，而物体的质量在该过程中可以看作常量.一般地，用字母a，b，c，…表示常量，用字母x，y，z，t，…表示变量.一个量是变量还是常量，要在具体问题中作具体分析.例如就小范围地区来说，重力加速度g是不变的常量，但就广大地区来说，重力加速度g就是一个变化的量.
讨论变量间的数量关系时，需要确定变量的取值范围，单个变量的取值范围常用数集来表示.本书讨论的变量在没有特别说明的情况下都是指在实数范围内变化的量.常用的数集除了有自然数集N、正整数集N＋、整数集Z、有理数集Q、实数集R外，还常用区间和邻域来表示.
区间是用得较多的一类数集，它表示介于两个实数之间的一切数构成的实数集，在数轴上对应位于a到b之间的一条线段，设a，b∈R，且a＜b，则数集
｛x｜a＜x＜b，x∈R｝
称为开区间，记作（a，b），即
（a，b）＝｛x｜a＜x＜b，x∈R｝
数集
｛x｜a≤x≤b，x∈R｝
称为闭区间，记作［a，b］，即
［a，b］＝｛x｜a≤x≤b，x∈R｝
类似地，数集
｛x｜a＜x≤b，x∈R｝ 与 ｛x｜a≤x＜b，x∈R｝
均称为半开半闭区间，分别记作（a，b］与［a，b），即
（a，b］＝｛x｜a＜x≤b，x∈R｝，［a，b）＝｛x｜a≤x＜b，x∈R｝
其中a与b称为这些区间的端点，b－a称为这些区间的区间长度.以上四种区间均为有限区间，区间长度b－a是有限的数值.此外还有下列五种无限区间，引进记号＋∞（读作正无穷大）及－∞（读作负无穷大），则有(www.chuimin.cn)
（a，＋∞）＝｛x｜x＞a，x∈R｝，［a，＋∞）＝｛x｜x≥a，x∈R｝
（－∞，b）＝｛x｜x＜b，x∈R｝，（－∞，b］＝｛x｜x≤b，x∈R｝
（－∞，＋∞）＝R
这些区间的区间长度都为无穷大.
为了描述函数在一点邻近的某些性态，还会经常用到邻域的概念，下面引入邻域的概念.
定义1 设a，δ∈R，δ＞0，数集
称为点a的δ邻域，记作U（a，δ）.其中点a与数δ分别称为该邻域的中心与半径.
在几何上，邻域U（a，δ）表示数轴上与点a的距离小于δ的点集，因此该点集是以点a为中心，半径为δ的一个开区间（图1－1（a）），即
U（a，δ）＝（a－δ，a＋δ）
当不强调邻域的半径时，常用U（a）表示以点a为中心的任意邻域.如果将邻域U（a，δ）的中心点a去掉，得到的数集｛x｜0＜｜x－a｜＜δ｝称为以点a为中心，半径为δ的去心邻域，记作
（图1－1（b）），即
（a，δ）＝（a－δ，a）∪（a，a＋δ）
图1－1
应当指出，对于邻域的半径虽然没有明确规定其大小，但一般总是取很小的正数.
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2023-10-19
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