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2023-08-04
合成不同主波长目标色的方法
【摘要】：下面将以色相由低至高的顺序在每个色域里选三个主波长作为目标色，用三刺激值里色矢量相加的方法给出目标色的主波长。以该直线rp为对角线，以色矢量rr和rg为两边，作平行四边形，那么rr与rg即合成目标色的两个色矢量。色矢量rr与rg合成主波长为610nm目标色p的示意图如图7-2所示。图7-5色矢量rg与rb合成主波长为480nm目标色的示意图已知三刺激值两色矢量夹角φ=130.259 °，α=70.873 °，β=59.386 °，sin φ=0.763131，cos φ=-0.646244，tg α=2.88343。
三基色RGB将复频谱分成三个色域：RG色域、GB色域和BR色域，如图6-2所示。下面将以色相由低至高的顺序在每个色域里选三个主波长作为目标色，用三刺激值里色矢量相加的方法给出目标色的主波长。
例1.设目标色主波长为680nm。求解合成该目标色的两个色矢量的模各是多少。
解：
第一步，由已知波长λ换算出复频谱色相H，设光速c=299792nm×1012·s-1，λ=680nm，则色相
显然，它位于RG色域，应该用R色矢量rr与G色矢量rg相加合成（以下文字中色矢量的模均简称色矢量）。
第二步，在复频谱上作色矢量rr和rg合成主波长为680nm的目标色示意图，如图7-1所示。从原点作53.316°方向直线，指向目标色色相方向。以该直线rp为对角线，以色矢量rr和rg为两边，作平行四边形，那么rr与rg即合成目标色的两个色矢量。
图7-1 色矢量 rr和rg合成主波长为680nm目标色示意图
第三步，查该目标色波长处V（λ）=0.017，三刺激值分别为
（λ）=0.01687，
（λ）=0.00003，由此它们的辐亮度分别为：
已知三基色矢量rr与rg的夹角φ=113.151°，那么rp与rr的夹角α=11.809°，rp与rg的夹角β=101.342°，如图7-1所示，于是sin φ=0.919472，cos φ=-0.393156，tg α=0.29075。
按照正弦定理，
，rr·sin α=rg·sin β，而β=φ-α，所以sin β=sin （φ-α）=sin φ cos α–cos φ sin α，代入上式，得
rr·sin α=rg·（sin φ cos α–cos φ sin α）=rg·sin φ cos α–rg·cos φ sin α，方程两边同除以cos α，得rr·tg α=rg·sin φ-rg·cos φ tg α，那么
利用（6-2）式，它们的微窄波长域：Δλr=1.99nm，Δλg=0.05nm。
若预先设定Δλr=1.99nm，通过计算得到R的色矢量rr=9.962，G的色矢量rg=2.0793，由它俩合成的目标色rp的色相Hp=53.316°，对应波长为680nm。
例2.设目标色主波长为610nm。求解合成该目标色的两个色矢量模各是多少。
解：参照例1解题步骤，不过，文字叙述从简，以下各题都照此例从简。目标色在复频谱上的色相为H=100.746°，位于RG色域，应该用R色矢量rr和G色矢量rg相加合成。色矢量rr与rg合成主波长为610nm目标色p的示意图如图7-2所示。
图7-2 色矢量rr与rg合成主波长为610nm目标色的示意图
已知两色矢量夹角φ=113.151°，α=59.239°，β=53.912°，sin φ=0.919472，cos φ=-0.393156，tg α=1.68115。三刺激值
，V（λ）=0.503，那么
利用（6-2）式，有Δλr=1.99nm，Δλg=0.113nm。
若预先设定Δλr=1.99nm，通过计算得到R的色矢量rr=8.2181，G的色矢量rg=8.73872，由它们俩合成的目标色矢量rp的色相Hp=100.746°，对应波长为610nm。
例3.设目标色主波长为550nm。求解合成该目标色的两个色矢量的模各是多少。
解：目标色在复频谱上的色相Hp=151.009°，位于RG色域，应该用R色矢量rr和G色矢量rg相加合成。色矢量rr与rg合成主波长为550nm目标色rp的示意图如图7-3所示。
图7-3 色矢量rr与rg合成主波长为550nm目标色的示意图
已知两色矢量夹角φ=113.151°，α=109.502°，β=3.649°，sin φ=0.919472，cos φ=-0.393156，tg α=-2.82360。三刺激值
，V（λ）=0.995，
那么，按照上述两例题计算步骤与方法：
Ler=0.022905，Leg=0.212844，假定Δθr=0.01，那么rr=2.14032，由此，rg=31.7002，Δθg=0.00424。则有：Δλr=1nm，Δλr=0.26nm。
若设定Δλr=1nm，通过计算得到R的色矢量rr=2.14032，G的色矢量rg=31.7002，由它俩合成目标色的色矢量rp的色相Hp=151.009°，波长为550nm。
例4.设目标色主波长为530nm。求解合成该目标色的两个色矢量的模各是多少。
解：目标色在复频谱上的色相Hp=170.292°，位于GB色域，应该用G的色矢量rg和B的色矢量rb相加合成。色矢量rg与rb合成主波长为530nm目标色的示意图如图7-4所示。
图7-4 色矢量rg与rb合成主波长为530nm目标色的示意图
已知两色矢量夹角φ=130.26°，α=15.6344°，β=114.625°，tg α=0.279845，sin φ=0.763131，cos φ=-0.646244，三刺激值
V（λ）=0.862，那么：
Leg=0.235696，Leb=0.0063691；假定Δθg=0.002，于是：rg=15.3524，rb=4.55126， 由此，Δθb=0.000615。则有：Δλg=0.12nm，Δλb=0.025nm。
若设定Δλg=0.12nm，通过计算得到G的色矢量rg=15.3524，B的色矢量rb=4.55126，由它俩合成目标色P的色矢量rp的色相Hp=170.292°，对应波长为530nm。
例5.设目标色主波长为480nm，求解合成该目标色的两个色矢量的模各是多少。(www.chuimin.cn)
解：目标色在复频谱上的色相Hp=225.531°，位于GB色域，应该用G的色矢量rg和B的色矢量rb相加合成。色矢量rg与rb合成主波长为480nm目标色的示意图如图7-5所示。
图7-5 色矢量rg与rb合成主波长为480nm目标色的示意图
已知三刺激值
两色矢量夹角φ=130.259 °，α=70.873 °，β=59.386 °，sin φ=0.763131，cos φ=-0.646244，tg α=2.88343。那么：
Leg=0.281583，Leb=1.04273，假定Δθg=0.0075，于是：rg=8.66538，rb=9.5131，则Δθb=0.023，Δλg=0.456nm，Δλb=0.892nm。
若设定Δλg=0.456nm，通过计算得到G的色矢量rg=8.66538，B的色矢量rb=9.5131，由它俩合成的目标色rp的色相Hp=225.531°，位于GB色域，波长为480nm。
例6.设目标色主波长为440nm，求解合成该目标色的两个色矢量的模各是多少。
解：目标色在复频谱上的色相Hp=278.76°，位于GB色域，应该用G的色矢量rg和B的色矢量rb相加合成。色矢量rg与rb合成主波长为440nm目标色的示意图如图7-6所示。
图7-6 色矢量rg与rb合成主波长为440nm目标色的示意图
已知两色矢量夹角φ=130.259°，α=124.103°，β=6.156°，sin φ=0.763131，cos φ=-0.646244，tg α=-1.47683。三刺激值：
=0.31228，V（λ）=0.023。假定Δθg=0.008，那么：
Leg=0.0647826，Leb=13.5774，则：rg=4.02438，rb=30.8583，由此，Δθb=0.031，那么Δλg=0.486nm，Δλb=1.2nm。
若设定Δλg=0.486nm，通过计算得到G的色矢量rg=4.02438，B的色矢量rb=30.8583，由它俩合成的目标色rp的色相Hp=278.76°，波长为440nm。
例7.设目标色主波长为430nm，求解合成该目标色的两个色矢量的模各是多少。
解：目标色在复频谱上的色相Hp=293.616°，位于BR色域，应该用B的色矢量rb与R的色矢量rr相加合成。色矢量rb与rr合成主波长为430nm目标色的示意图如图7-7所示。
已知两色矢量的夹角φ=116.59°，α=8.6993°，β=107.86°，sin φ=0.894232，cos φ=-0.447603，tg α=0.153009。三刺激值：
=0.24769，
（λ）=0.00218，V（λ）=0.0116。
图7-7 色矢量rb与rr合成主波长为430nm目标色的示意图
此时假定Δθb=0.05，通过计算得到Δλb=1.94nm，则有：
B的色矢量rb=29.2251，R的色矢量rr=4.64486，由它俩合成的目标色rp的色相Hp=293.616°，波长为430nm。
例8.设目标色的主波长为410nm，求解合成该目标色的两个色矢量的模各是多少。
解：目标色在复频谱上的色相Hp=325.5°，位于BR色域，应该用B的色矢量rp与R的色矢量rr相加合成。色矢量rb与rr合成主波长为410nm目标色的示意图如图7-8所示。
已知两色矢量的夹角φ=116.6°，α=40.583°，β=76.007°，sin φ=0.894232，cos φ=-0.447603，tg α=0.856589。三刺激值：
=0.03707，
=0.00084，V（λ）=0.0012，
假定Δθb=0.05，通过计算得到Δλb=1.94nm，Δλr=0.25nm。
若设定Δλb=1.94nm，通过计算得到B的色矢量rb=35.1551，R的色矢量rr=23.5696，由它俩合成的目标色rp的色相Hp=325.5°，波长为410nm。
例9.设目标色的主波长为390nm，求解合成该目标色的两个色矢量的模各是多少。
图7-8 色矢量rb与rr合成主波长为410nm目标色的示意图
解：目标色在复频谱上的色相Hp=360.65°，位于BR色域，应该用B的色矢量rb与R的色矢量rr相加合成。色矢量rb与rr合成主波长为390nm，目标色的示意图如图7-9所示。
图7-9 色矢量rb与rr合成主波长为390nm目标色的示意图
已知两色矢量的夹角φ=116.6°，α=75.737°，β=40.852°，sin φ=0.894232，cos φ=-0.447603，tg α=3.93377°。三刺激值：
=0.00359，
=0.00010，V（λ）=0.00012，那么，当假定Δθb=0.05时，计算出Δλb=1.94nm。
若设定Δλb=1.94nm，通过计算得到B的色矢量rb=34.5929，R的色矢量rr=51.2544，由它俩合成的目标色rp的色相Hp=360.65°，波长为390nm。
这个目标色的色相正确的表示应该是0.65°。有意思的是它与波长780nm的相位0.33°几乎是重叠。因为波长390nm的频率正好是780nm的频率的一个倍频，所以在复频谱上两个相位是重叠的。这也表明，复频谱色谱与光谱的区别，复频谱色谱的排列是在复平面上环状首尾重合，而光谱则是首尾各处一端。这也再一次表明光与色既有联系，又有区别。
以上合成目标色的9个例题，在R、G、B每个色域中各占3例，其统计数据如表7-1所示。在每个色域的3个例题中，2个例题目标色分别靠近两个基本色中的一个基本色，1个例题居中。这样安排目的是从中看出由于目标色在两个基本色中间相位不同，致使基本色的两个色矢量模的比值也随之发生此消彼长的变化，这种变化与格拉斯曼中间色定律是一致的。
表7-1 九个例题中色矢量合成目标色有关数据
注：
*表7-1中每个波长所在色域的微弧度Δθ和色矢量r都有两个值，用下标数字“1”“2”加以区别。以该色域两个基本色中低色相者标以“1”，高色相者标以“2”。
以上9个例题分别给出r1与r2两个色矢量，由于解题时预先设定的微弧度Δθ不是定值，具有一定的随意性，所以计算出来的两个色矢量r1与r2仅仅是相对值。但是只要目标色的相位是确定的，它俩的比值也是确定的，其数据只要满足三角函数中的正弦定理r1·sin α=r2·sin β就可以认为计算的结果是可以接受的，用正弦定理验证色矢量合成结果数据表如表7-2所示。
表7-2 用正弦定理验证色矢量合成结果数据表
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2023-08-05
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