应用多元统计分析中对应分析的计算步骤

2023-11-18 理论教育版权反馈

【摘要】：对应分析的具体计算步骤如下：由原始数据矩阵A 出发计算对应矩阵P 和对应变换后的新数据矩阵B，计算公式见式和式．计算行轮廓分布，记R 矩阵由A 矩阵的每一行除以行和得到，其目的在于消除行点出现“概率”不同的影响．记N＝{Ri，i＝1，2，…，m）是B 的奇异值．式给出Q 的分解式，第i个因子（i＝1，2，…

对应分析的具体计算步骤如下：

（1）由原始数据矩阵A 出发计算对应矩阵P 和对应变换后的新数据矩阵B，计算公式见式（11．2．1）和式（11．2．3）．

（2）计算行轮廓分布（或行形象分布），记

R 矩阵由A 矩阵（或对应矩阵P）的每一行除以行和得到，其目的在于消除行点（即样品点）出现“概率”不同的影响．

记N（R）＝{Ri，i＝1，2，…，n}，N（R）表示n 个行形象组成的p 维空间的点集，则点集N（R）的重心（每个样品点及pi· 为权重）为

由式（11．2．2）可知，c 是p 个列向量的边缘分布．

（3）计算列轮廓分布（或列形象分布），记

C 矩阵由A 矩阵（或对应矩阵P）的每一列除以列和得到，其目的在于消除列点（即变量点）出现“概率”不同的影响．

（4）计算总惯量和χ2 统计量，第k 个与第l 个样品间的加权平方距离（或称χ2 距离）为

我们把n 个样品点（即行点）到重心c 的加权平方距离的总和定义为行形象点集N（R）的总惯量

其中，χ2 统计量是检验行点和列点是否互不相关的检验统计量．

（5）对标准化后的新数据阵B 作奇异值分解，由式（11．2．5）知

B＝U1Λm VT1,m＝rank(B)≤min(n－1,p－1),

其中，，即V1，U1 分别为p×m和n×m 列正交矩阵，求B 的奇异值分解式其实是通过求SR＝BT B 矩阵的特征值和标准化特征向量得到．设特征值为λ1 ≥λ2 ≥…≥λm＞0相应标准化特征向量为v1，v2，…，vm．在实际应用中常按累积贡献率(www.chuimin.cn)

确定所取公共因子个数l（l≤m），B 的奇异值．以下我们仍用m 表示选定的因子个数．

（6）计算行轮廓的坐标G 和列轮廓的坐标F．令αi＝（i＝1，2，…，m），则型因子分析的“因子载荷矩阵”（或列轮廓坐标）为

其中为p 阶矩阵，V1 为p×m 矩阵，有

令，则．Q 型因子分析的“因子载荷矩阵”（或行轮廓坐标）为

其中，为n 阶矩阵，U1 为n×m 矩阵，有

常把αi 或βi（i＝1，2，…，m）称为加权意义下有单位长度的特征向量．

注意：行轮廓的坐标G 和列轮廓的坐标F的定义与Q 型和R 型因子载荷矩阵稍有差别．G 的前两列包含了数据最优二维表示中的各对行点（样品点）的坐标，而F的前两列则包含了数据最优二维表示中的各对列点（变量点）的坐标．

（7）在相同二维平面上用行轮廓的坐标G 和列轮廓的坐标F（取m＝2）绘制出点的平面图，也就是把n 个行点（样品点）和p 个列点（变量点）在同一个平面坐标系中绘制出来，对一组行点或一组列点，二维图中的欧氏距离与原始数据中各行（或列）轮廓之间的加权距离是相对应的．但需要注意，对应行轮廓的点与对应列轮廓的点之间没有直接的距离关系．

（8）求总惯量Q 和χ2 统计量的分解式．由式（11．2．6）可知

其中，λi（i＝1，2，…，m）是BT B 的特征值，称为第i个主惯量；di＝（i＝1，2，…，m）是B 的奇异值．式（11．2．7）给出Q 的分解式，第i个因子（i＝1，2，…，m）轴末端的惯量Qi＝d2i．相应地，有

即给出总χ2 统计量的分解式．

（9）对样品点和变量点进行分类，并结合专业知识进行成因解释．

应用多元统计分析中对应分析的计算步骤

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