对应分析的原理和依据：应用多元统计分析

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：，λm 对应的特征向量，且．矩阵代数的这几个结论为我们建立了因子分析中R 型与Q 型的关系．借助以上引理11．2．2和引理11．2．3，我们从R 型因子分析出发可以直接得到Q 型因子分析的结果．由于SR 和SQ 有相同的非零特征值，而这些非零特征值又表示各个公共因子所提供的方差，因此变量空间Rp 中的第一公共因子、第二公共因子…

将原始数据矩阵A 变换为B 矩阵后，记SR＝BT B，SQ＝BBT，SR 和SQ 这两个矩阵存在明显的简单的对应关系，而且将原始数据aij 变换为bij 后，bij 关于i，j 是对等的，即bij 对变量和样品是对等的．

为了进一步研究R 型与Q 型因子分析，我们利用矩阵代数的一些结论．

引理11．2．2 设SR＝BT B，SQ＝BBT，则SR 和SQ 的非零特征值相同．

引理11．2．3 若v是BT B 相应于特征值λ 的特征向量，则u＝Bv是BBT 相应于特征值λ 的特征向量．

定义11．2．1 （矩阵的奇异值分解）设B 为n×p 矩阵，且

rank(B)＝m ≤min(n－1,p－1),

BT B 的非零特征值为λ1 ≥λ2 ≥…≥λm＞0，令，则称di 为B 的奇异值．

如果存在分解式(https://www.chuimin.cn)

其中，U 为n×n 正交矩阵，V 为p×p 正交矩阵，Λ＝ pagenumber_ebook=225,pagenumber_book=216 ，这里Λm＝diag（d1，d2，…，dm），则称分解式B＝UΛVT 为矩阵B 的奇异值分解．

记U＝（U1⋮U2），V＝（V1⋮V2），Λm＝diag（d1，d2，…，dm），其中U1 为m×n 的列正交矩阵，V1 为p×m 的列正交矩阵，则奇异值分解式（11．2．4）等价于

引理11．2．4 任意非零矩阵B 的奇异值分解必存在．

引理11．2．4的证明就是具体求出矩阵B 的奇异值分解式（高惠璇，统计计算（1995））．从证明过程中可以看出：列正交矩阵V1 的m 个列向量分别是BT B 的非零征值为λ1，λ2，…，λm 对应的特征向量；而列正交矩阵U1 的m 个列向量分别是BBT 的非零征值为λ1，λ2，…，λm 对应的特征向量，且．

矩阵代数的这几个结论为我们建立了因子分析中R 型与Q 型的关系．借助以上引理11．2．2和引理11．2．3，我们从R 型因子分析出发可以直接得到Q 型因子分析的结果．

由于SR 和SQ 有相同的非零特征值，而这些非零特征值又表示各个公共因子所提供的方差，因此变量空间Rp 中的第一公共因子、第二公共因子…，直到第m个公共因子，它们与样本空间Rp 中对应的各个公共因子在总方差中所占的百分比全部相同．

从几何的意义上看，即Rp 中诸样品点与Rp 中各因子轴的距离平方和，以及Rp 中诸变量点与Rp 中相对应的各因子轴的距离平方和是完全相同的．因此可以把变量点和样品点同时反映在同一因子轴所确定的平面上（即取同一个坐标系），根据接近程度，可以对变量点和样品点同时考虑进行分类．

对应分析的原理和依据：应用多元统计分析

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