主成分分析：基本思想及方法

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：，xp 表示p 门课程，c1，c2，…＋cp xp．我们希望选择适当的权重能更好地区分学生的成绩．每个学生都对应一个这样的综合成绩，记为s1，s2，…，sn．如果这些值很分散，表明区分得好，就是说，需要寻找这样的加权，能使s1，s2，…，sn 尽可能的分散，下面来看它的统计定义．设X1，X2，…，Xp 表示以x1，x2，…，xp 为样本观测值的随机变量，如果能找到c1，c2，…，c1p）使得Var的值达到最大；（c21，c22，…，c3p）同时垂直于（c11，c12，…

如果用x1，x2，…，xp 表示p 门课程，c1，c2，…，cp 表示各门课程的权重，那么加权之和就是

s＝c1 x1＋c2 x2＋…＋cp xp．

我们希望选择适当的权重能更好地区分学生的成绩．每个学生都对应一个这样的综合成绩，记为s1，s2，…，sn（n 为学生人数）．如果这些值很分散，表明区分得好，就是说，需要寻找这样的加权，能使s1，s2，…，sn 尽可能的分散，下面来看它的统计定义．设X1，X2，…，Xp 表示以x1，x2，…，xp 为样本观测值的随机变量，如果能找到c1，c2，…，cp，使得方差

的值达到最大，则由于方差反映了数据差异的程度，因此也就表明我们抓住了这p个变量的最大变异．当然，式（9．1．1）必须加上某种限制，否则权值可选择无穷大而没有意义，通常规定

在此约束下，求式（9．1．1）的最优解．由于这个解是p 维空间的一个单位向量，它代表一个“方向”，它就是常说的主成分方向．

一个主成分不足以代表原来的p 个变量，因此需要寻找第二个乃至第三、第四主成分，第二个主成分不应该再包含第一个主成分的信息，统计上的描述就是让这两个主成分的协方差为零，几何上就是这两个主成分的方向正交．具体确定各个主成分的方法如下．

设Zi 表示第i个主成分（i＝1，2，…，p），可设(https://www.chuimin.cn)

其中，对每一个i，均有，且（c11，c12，…，c1p）使得Var（Z1）的值达到最大；（c21，c22，…，c2p）不仅垂直于（c11，c12，…，c1p），而且使Var（Z2）的值达到最大；（c31，c32，…，c3p）同时垂直于（c11，c12，…，c1p）和（c21，c22，…，c2p），并使Var（Z3）的值达到最大；以此类推可以得到全部p 个主成分，这项工作用手工做是很繁琐的，但借助于计算机很容易完成．剩下的是如何确定主成分的个数，我们总结在下面几个注意事项中．

（1）主成分分析的结果受量纲的影响，由于各变量的单位可能不一样，如果各自改变量纲，结果会不一样，这是主成分分析的最大问题，回归分析是不存在这种情况的，所以实际中可以先把各变量的数据标准化，然后使用协方差矩阵或相关系数矩阵进行分析．

（2）使方差达到最大的主成分分析不用转轴（由于统计软件常把主成分分析和因子分析放在一起，后者往往需要转轴，使用时应注意）．

（3）主成分的保留．用相关系数矩阵求主成分时，Kaiser主张将特征值小于1的主成分予以放弃（这也是SPSS软件的默认值）．

（4）在实际研究中，由于主成分的目的是为了降维，减少变量的个数，故一般选取少量的主成分（不超过5或6个），一般只要它们能解释变异的70%～80%（称累积贡献率）就可以了．

主成分分析：基本思想及方法

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