广义线性模型概述：应用多元统计分析基于R实验

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：，βp的线性函数．因此，对μ 作变换，则可得到下面几种分布的连接函数的形式：正态分布m（μ）＝μ＝∑βi xi．二项分布．Poisson分布m（μ）＝lnμ＝∑βi xi．上述推广体现在以下两个方面：通过一个连接函数，将响应变量的期望与解释变量建立线性关系m[E]＝β0＋β1 x1＋β2 x2＋…

对于一般线性模型其基本假设是因变量y 服从正态分布，或至少y 的方差σ2为有限常数．然而在实际问题中有些观测值明显不符合这个假设．

20世纪70年代初，Wedderbum 等人在一般线性模型的基础上，对方差σ2 为有限常数的假设作了进一步推广，提出了广义线性模型（generalized linear model）的概念和拟似然函数（quasi-likelihood function）的方法，用于求解满足下列条件的线性模型：

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其中，m 为连接函数m（·）组成的向量，将μ 转化为β的线性表达式；V（μ）为n×n矩阵（其每个元素均为μ 的函数），当各yi 相互独立时，V（μ）为对角矩阵．当m（μ）＝μ，V（μ）＝I 时，式（5．1．2）为一般线性模型．也就是说，式（5．1．2）包括了一般线性模型．

在广义线性模型中，均假设观测值具有指数族密度函数

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其中，a（·），b（·），c（·）是三种函数形式．如果给定φ（散布参数，有时写作σ2），式（5．1．3）就是具有参数θ 的指数族密度函数．以正态分布为例，

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把上式与式（5．1．3）比较，可知

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根据样本和y 的函数可建立对数似然函数，并可导出y 的数学期望和方差．

在广义线性模型式（5．1．3）中，θ不仅是μ 的函数，还是参数β0，β1，β2，…，βp的线性函数．因此，对μ 作变换，则可得到下面几种分布的连接函数的形式：

正态分布m（μ）＝μ＝∑βi xi．

二项分布 pagenumber_ebook=87,pagenumber_book=78 ．(https://www.chuimin.cn)

Poisson分布m（μ）＝lnμ＝∑βi xi．

上述推广体现在以下两个方面：

（1）通过一个连接函数，将响应变量的期望与解释变量建立线性关系

m[E(y)]＝β0＋β1 x1＋β2 x2＋…＋βp xp．

（2）通过一个误差函数，说明广义线性模型的最后一部分随机项．

广义线性模型中的常用分布族，见表5-1．

表5-1　广义线性模型中的常用分布族

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在R 语言中，正态分布族的广义线性模型与线性模型是相同的．

广义线性模型函数“glm（）”的用法如下：

gm＜－glm(formula,family＝gaussian,data,．．．)

其中，formula 为公式，即要拟合的模型；family 为分布族，包括正态分布（Gaussian）、二项分布（Binomial）、泊松分布（Poisson）和伽马分布（Gamma）．分布族还可以通过选项来指定使用的连接函数；data为可选择的数据框．

在广义线性模型的意义下，我们不仅知道一般线性模型是广义线性模型的一个特例，而且导出了处理频率资料的Logistic模型和处理频数资料的对数线性模型．这个重要结果还说明，虽然Logistic模型和对数线性模型都是非线性模型，即μ和β 呈非线性关系，但通过连接函数使m（μ）和β 呈线性关系，从而使我们可以用线性拟合的方法求解这类非线性模型．更有意义的是，在实际问题中数据的形式无非是计量资料、频率资料和频数资料，因此掌握了广义线性模型的思想和方法，结合有关软件，就可以用统一的方法处理各种类型的统计数据．

广义线性模型概述：应用多元统计分析基于R实验

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