费米子：水火不相容的量子力学

利用量子力学理论对原子性质做出的预测，如处于激发态的氢原子回归基态时发射的光的波长，与在实验中测得的波长，两者之间的一致程度令人称奇。倘若量子力学仅此而已，它当然无法“开创未来”，我们也会一直生活在“真空管时代”，不会有笔记本电脑、手机、DVD和核磁共振成像等电子设备。

薛定谔和海森堡对量子力学的论述准确地解释了单个原子的性质，但是我们很少遇到一个单独存在的氢原子，或其他任何单独存在的原子或分子。一立方厘米的液体或固体约为一块方糖大小，通常包含1024个原子。量子力学的强大之处在于，它可以为这1024个原子的性质提供解释，也可以解释为什么有些材料是金属，有些材料是绝缘体，有些材料是半导体。幸运的是，如果我们明白了当两个物体间的距离足够近时，它们的薛定谔波函数会重叠，我们基本上也就理解了1024个原子彼此靠近可能产生的结果。

截至目前，我们已经广泛使用了本书第一部分给出的量子力学的前两个定律：光是由被称为光子的不连续的能量片段组成的，以及任何运动的物体都有一种波与之对应。我们尚未使用第三条定律：所有的物质和光都具有自旋属性，并对应角动量的不连续值。为了理解原子中电子能级的排布细节，我们需要应用此原理，但我们没有必要深入探究排布的复杂性。如果我们想从根本上理解半导体时代和即将到来的纳米技术革命，就不可避免地要用到有关电子能级排布的相关知识。

所有亚原子粒子都有内禀角动量，被称为“自旋”。自旋与磁场对应，每一个电子、质子和中子都可以被看作一个小的条形磁铁，有一个南极和一个北极。实验观察结果表明，电子有内生磁场，自旋的概念正是为了解释这个内生磁场而提出的，所以只依照字面意思，将自旋理解为亚原子粒子可以像女芭蕾舞者那样进行物理旋转。内禀角动量是电子性质中不可或缺的一部分，就像电子的质量和电荷那样真实存在，因此，想象一个与物理旋转无关的内禀角动量，这确实令人困惑。尽管如此，“自旋”这一术语使用已久，因为遵从学术惯例是一条基本的治学原则。

正如第4章所介绍的，电子的内禀角动量恰好是/2（如前所述，为h/2π）。一个“自旋”的电子的内禀角动量的值为+/2或-/2，就像女芭蕾舞者可以进行顺时针或逆时针旋转一样。对于电子（或者质子、中子）而言，其内禀角动量不可能取其他的值。20世纪30年代，恩利克·费米和保罗·狄拉克最早提出了内禀角动量为±/2的量子粒子的整体排布规律。为了纪念他们做出的贡献，物理学家们将所有内禀角动量为/2的粒子称为“费米子”。

测试两个费米子，比如两个电子。所有的电子看上去都很相似，这不是反费米者的偏见，而是对“所有给定类别的基本粒子都是全同的”这一事实的反映。例如，没有办法在电子间做出辨别和区分。类似地，所有质子都是相同的，中子也一样。这三种亚原子粒子具有不同的质量和电荷，因此它们可以互相区分开。但是，如果我们使两个电子彼此靠近，物质波发生重叠，就不存在可观测的属性能将这两个电子区分开来。

如果我将一块石头掷入池塘，就会荡起一组同心圆形状的涟漪（图12-1左图）。如果我将两块石头掷入水中，它们的落水点彼此间隔一小段距离，那么每块石头都会形成一组涟漪，组合在一起的效果是一个复杂的干涉图案（图12-1右图）。在某些位置上，来自每块石头的涟漪叠加在一起，在水面上形成了比单个石头更大的扰动。而在其他一些位置上，两组涟漪完全异相，即有的涟漪处于波峰位置，有的涟漪处于波谷位置。综上所述，投掷两块石头产生的波纹图案，不只是投掷一块石头所产生的图案的简单复制。

图12-1　一块石头被掷进水中（左），以及两块石头被同时掷进水中，它们的距离很近但互不接触（右），我们在池塘表面分别观察到的涟漪示意图

所有物质都有量子力学波函数。当两个电子彼此靠近时，它们的波函数会重叠，可以描述为“双电子波函数”。对于两块被掷入池塘的石头而言，如果石头是相同的，并以相同的方式被掷进水中，那么哪一块石头在左、哪一块石头在右，并不会影响我们在水面上观察到的干涉图案。同样地，在原子物理学中，我们能测量的任何物理量，比如电子在不同能量态之间跃迁而发射的光的波长，都不取决于人们对电子的辨识和区分。对于被扔进水中的石头来说，它们确实是可以区分的，因为我们可以通过一种有意义的方式来定义左边的石头和右边的石头。而海森堡告诉我们，试图将电子的位置测量得比其物质波的长度范围更加精确，这种努力是徒劳的。当两个物质波重叠时，像“左”和“右”这样的概念变得无关紧要，我们所拥有的只是双电子波函数。

假如我有两个电子，我将它们创造性地命名为电子1和电子2。我把它们放在一起，使它们的波函数重叠。这两个电子是不可分辨的，将哪一个标记为“电子1”，哪一个标记为“电子2”，对测量结果没有任何影响。那么此时此刻，这两个电子有任何不同之处吗？当然有！这两个电子有相同的电荷和质量，但它们可以有不同的内禀角动量。两个电子的内禀角动量可以都为+/2或者-/2，也可以其中一个为+/2而另一个为-/2。内禀角动量对于理解固体物理学至关重要。

想象一条色带，它的一面为黑色，另一面为白色。这条色带的每一面都代表一个电子。如果我手持色带的两端并使白色面朝向你，它代表电子的内禀角动量是+/2；如果黑色面朝向你，则代表内禀角动量是-/2。现在，如果我将色带两端间的距离拉大，我可以很容易地区分它们——一端在右边，另一端在左边。如果我让它们靠得很近，相互重叠，我就很难将它们区分开来。在这种情况下、我可以将它们描述为“一条更长的色带”。我还可以通过其他方式，如右手握住色带的一端使其白色面向外，左手握住另一端使其黑色面向外，来表示一个电子的内禀角动量是+/2而另一个电子的内禀角动量是-/2的情形。图12-2显示的色带的两端都是白色面向外，表明两个电子的内禀角动量都为 +/2。根据理查德·费曼在题为“存在反粒子的理由”的文章中的描述，此图经过了戴维·芬克勒斯坦因的修改。我想我无须强调，“色带”只是一个用来帮助我们形象化地理解双粒子波函数的简单比喻，而不是真实的波函数。

图12-2　每面为不同颜色的色带示意图，色带的两端都是同样颜色的面朝外（此例中是白色面朝外）。将两端交换位置将导致色带扭转一半，要想使色带完全扭转，需要再一次交换两端的位置，然后将色带的一端翻转两次便可消除扭结

图12-2的色带代表一个双电子波函数，其中两个电子的内禀角动量都是 +/2。如果两个电子的距离靠得很近，就可以描述为一个波函数，我用一条色带来代表它们。对一个电子的改变也会传导至另一个电子。如果我交换它们的位置，将右手的电子移动到左手，而将左手的电子移动到右手，会怎么样呢？如果我这样做却不松开色带的任何一端，通过交换它们的位置，我会使色带扭转半圈［图12-2（b）］。这与初始状态不同，通过观察可知，色带的左右两端互换了位置。

这就是“费米子”的核心内容，它决定着电子之间相互作用的方式，也是元素周期表、化学和固体物理学的基础。

如何在数学上将两个电子的波函数结合起来，以交换两个电子的位置就可改变状态，再交换一次又回到最初状态呢？一个简单的做法是：将双电子波函数Ψ表示为两个函数A和B的差，即Ψ=A-B，其中A和B分别取决于在位置1和位置2上的电子的波函数。就像交换色带的两端那样，通过一个扭转将两个电子互换位置。在这种情况下，波函数可以写成Ψ=B-A。交换两个电子位置的过程相当于将原有的双电子波函数乘以（-1）。如果我们想回到最初状态，只需再扭转一次，就可重新得到Ψ=A-B。

任何可测量的物理量都无关乎我把哪个电子标记为电子1，哪个标记为电子2。将双电子波函数写成A-B，交换两个电子的位置相当于波函数乘以（-1），这不会对我们的测量结果产生任何影响。尽管波函数Ψ包含了关于量子力学体系的所有信息，但告诉我们在时空中的某一点发现物质的概率的却是波函数的平方Ψ2。Ψ2也被用于计算电子的平均位置［我们用所有可能的位置乘以电子在该位置出现的概率（Ψ2），然后相加］、平均动量，等等。因为-1的平方是（-1）2=（-1）×（-1）=+1，所以Ψ=A-B是表示两个内禀角动量为/2的电子的一种切实有效的方法。在第8章中，曼哈顿博士随意改变自身大小的能力被归因于薛定谔方程是线性的。这在此处同样重要，因为如下的论述只对线性方程才成立：如果A和B分别是薛定谔方程的解，那么Ψ=A-B也是薛定谔方程的有效解。(www.chuimin.cn)

我们马上会想到，将双电子波函数写成Ψ=A-B会造成一个严重的后果：如果我们尝试让两个电子处于相同的位置，或者相同的量子态（当它们足够接近，可描述为一个双电子波函数时），即让函数A等于函数B，会发生什么呢？当A=B时，双电子波函数为Ψ=A-B=0。如果甲=0，那么波函数的平方Ψ×Ψ=Ψ2=0。从物理学的角度来讲，这意味着在同一个位置，找到两个量子态完全相同的电子的概率为零，也就是说，这种情况永远也不可能发生。回想一下我们在第8章中讨论过的量子隧穿效应，当一种金属与另一种金属被真空隔开时，电子可以通过隧穿效应从一种金属到达另一种金属。我们曾经指出，尽管概率很小，约为1012分之一，但仍然有可能在第二种金属中发现电子。只在概率肯定为零时，该事物才永远不会被观测到。如果一件事物永远不能被观测到，在物理学中我们就说它是“禁止的”。

从电子的内禀角动量值为/2这一事实出发，我们就可以理解元素周期表的结构。在第6章中，我们讨论了当势能V是带负电荷的电子和带正电荷的原子核之间的静电吸引力时，薛定谔方程的解是什么。薛定谔发现有一组可能的解对应着不同能量态，我们认为这与图6-1所示的礼堂中的一排排座位没什么不同。有些座位距离礼堂的前部很近，有些座位则离教室的前部较远。这些座位的排列仅取决于带正电的原子核与带负电的电子之间的吸引力。现在，我们明白了为什么一个原子中的所有电子不是简单地堆积在前排的座位上，即处于能量最低的量子态。因为要是这样的话，所有电子就会都处于相同位置且具有相同的量子态，如我们刚刚讨论的那样，发生那种情况的概率为零。

有一个生动的术语可以用来描述在同一个位置上没有任何两个电子可以拥有完全相同的量子态这一事实，它就是泡利不相容原理。沃尔夫冈·泡利是量子力学的开创者之一，为了得出元素中的电子组态，泡利于1925年提出了这个基本假设。如图12-3（a）所示，只有一个电子的氢原子于最低能量态。因为这种元素中仅有一个电子，不相容原理在这里不起作用。在元素周期表上氢的下一个元素是氦，它有两个电子。现在，我们要拓展“礼堂”这个物理学类比：礼堂里的每一个“座位”都是“双人座”，可以容纳两个电子，但前提是它们彼此移动方向相反（比如，一个电子的自旋“向上”，另一个电子的自旋“向下”）。如图12-3（b）所示，这两个电子都处于最低能量态，一个电子的内禀角动量值为+/2，另一个电子的内禀角动量值为-/2，每一种自旋态都可以算作一种量子态。因为没有其他可能的内禀角动量值，锂元素［元素周期表上氦的下一个元素，如图12-3（c）所示］中的第三个电子不得不处于下一个更高的能级。如果锂元素的三个电子都处于最低能级，那么至少有两个电子的内禀角动量值为+/2或者-/2，而出现这种情形的概率是Ψ2=0。如图12-3（d）所示的碳元素有6个电子，两个处于基态，余下的4个处于下一排较高的“座位”，并且能以各种各样的方式形成4个化学键。相比于未成键的状态，因为形成这些化学键，对于碳原子以及其他通过化学方式与碳原子相互作用的原子来说，它们的能量降低了。如果碳原子中的6个电子都降至最低能量态，就不会有额外的能量使它们与其他原子形成化学键。因此，如果没有泡利不相容原理，就不会有甲烷、钻石以及DNA。

图12-3　用“礼堂”中的一排排座位代表对原子中的一个电子求解薛定谔方程所得到的可能的量子态解。泡利不相容原理表明，每一个座位可以安置两个自旋方向相反的电子。自左向右分别展示了氢、氦、锂、碳和铝原子中包含的1个、2个、3个、6个和13个电子分别所处的量子态

我们来看一下铝原子，它拥有13个电子，如图12-3（e）所示。除了一个电子以外的其他12个电子的能量态都是两两配对的，因此只有一个电子可以参与形成化学键。其他12个电子在化学上呈惰性并形成铝原子的内层，但这并不意味着我们无法利用这些内层电子。泡利不相容原理迫使电子处于越来越高的能量态，相当于让一些学生坐在距离礼堂前部较远的座位上。如果我们可以让其中一个电子脱离基态（报告厅的第一排），就会出现一个空座位，如同我们突然把一名坐在第一排的学生赶出去。于是，坐在后排的某个学生就有机会挪至这个前排的空位上。当一束高能电子击中一个原子时，就会发生这样的情形。如果是这样，当一个外层电子移至更低的能量态时，它就会在跃迁的过程中发射一个X射线光子。如果我们需要用特定波长的X射线对晶体进行散射研究，这实际上是在实验室中产生X射线的一种非常有效的方法。

最后几个电子未同其他电子处于配对的量子态，因而可以参与化学键的形成，它们是如何与相邻铝原子中的未配对电子相结合，在一立方厘米的铝内将所有1024个原子聚集在一起的呢？钻石中各个碳原子的最后一个未配对电子彼此间是如何互相结合并形成了一种坚硬的绝缘体？尽管铝和钻石的材料性质完全不同，但它们的电子排布都符合泡利不相容原理。

我们可以用约翰·齐曼提出的一种聪明的理论来解释为什么一些固体是金属，而另一些固体是绝缘体。满足泡利不相容原理的一个简单方式是，永远不要让电子在相同的时间出现在同一位置上。假设有一列原子，每个原子旁边都有一个盒子，那么我可以在这些盒子（我们很快会知道这些盒子究竟是什么）中放入一个电子，所有这些电子都处于同一量子态。这不会造成任何问题，通过为每个电子提供一个容器，原则上我已经将它们区分开了。我可以说出哪一个电子在右边的盒子里，哪一个电子在左边的盒子里，这就好像我能分辨出被掷入池塘的两块石头。盒壁使得相邻电子的物质波不会发生重叠，因而1024个电子可以都处于相同的量子态，总的波函数则是单个电子的波函数重复1024次。每个电子都可以用一条专属色带来表示，如图12-2所示，任何色带都不能用来表示一个以上的电子。当我计算盒子中每个电子的平均能量时，假设盒子的宽度等于固体中原子之间的距离，我得到的能量值约为3电子伏特（精确的能量值显然取决于固体中原子排列的各种细节，即固体的“晶体结构”），这便是我将一个电子移出盒子所需要的能量。当然，因为每一个电子都具有两个可能的内禀角动量值，所以我可以在每个盒子中放入两个电子（每个盒子相当于一个“双人座”），只要它们的内禀角动量值分别是+/2和-/2。

如图12-3（d）所示的碳原子很容易“重新排布”4个后排电子的座位，允许量子力学波函数进行一些组合，以形成不同的量子态结构，这些结构可以参与大量的化学反应。在蛋白质和DNA中，碳原子可以形成一条直线形式的强化学键；它还可以形成石墨——三个强化学键处于一个平面内，一个弱键位于平面上方或下方，这就是为什么用石墨做铅笔芯，写字方便顺畅；如果这些座位经设置形成了4个等价的强化学键，我们将这样的碳结构称为“钻石”。在每一种情况下，碳原子中都有4个电子能够参与形成化学键，可以用4个盒子来表示，每个盒子中有一个电子。根据泡利不相容原理，我们知道每个盒子还可以再容纳一个电子，这个电子的自旋方向与第一个电子完全相反。当两个碳原子足够接近时，包含未配对电子的量子态将发生重叠，两个电子可以用一个双电子波函数来表示。最终我们发现，如果未配对电子填满每个盒子的“双人座”（完成配对），那么每个电子的能量将降低［图12-4（a）］。也就是说，为了将电子从盒子中移除，必须对原子施加能量，从而使每个电子都恢复到不配对状态。重叠的电子波函数在原子间形成了化学键，将原子束缚在晶体结构中。电子在空间中的分布满足泡利不相容原理。在一个钻石晶体中，每一个碳原子都被其他4个碳原子包围，形成一个正四面体，4个碳原子中未配对的电子可以占据第一个碳原子盒子中“双人座”的第二个位置［见图 12-4（b）］。

图12-4　两个相邻碳原子上的未配对电子相互重叠形成碳—碳键，从而使整个体系的能量降低的示意图（a）。图12-4（b）展示的是钻石中碳原子形成的四面体结构，包含4个化学键

还有一种方式也满足泡利不相容原理。假设不存在“盒子”，而且允许电子在整个固体中自由移动。在这种情况下，两个电子可以在同一时间处于相同的位置，但必须保证它们处于不同的量子态。对于最后一个不配对的电子，比如图12-3（e）中铝原子的第13个电子，它在最低量子能级上有多少种不同的排布方式呢？答案是：与固体中的原子数目一样多。尽管我无法确定电子在固体中的具体位置，但我可以算出电子处于不同量子态时的动量，从而得到一个波长相当于整个固体长度的物质波。因为动量×波长=普朗克常数，因此这个大的波长对应一个非常小的动量，也对应一个非常小的能量。在另一种极端情况下，最小的物质波的波长相当于固体中原子间的距离。这种波长很短，因而它的动量很高。最短波长对应的最高能量大约是3电子伏特，它也取决于固体中原子结构的细节。

因此，无论电子被放在每个原子的盒子中，还是可以在整个固体中自由移动，我们都会得到约3电子伏特的能量。然而，在第二种情况下，电子能以不连续的动量态在整个固体中自由移动，3电子伏特是最活跃的电子的能量；而当电子被放入盒子，3电子伏特则是每个电子的能量。处于自由移动状态的电子的平均能量小于3电子伏特，接近1.5电子伏特。在“电子被放在盒子中”这种情况下，每个电子都有相同的能量，平均能量也是3电子伏特。因此，固体作为一个整体，可以通过使电子在晶体中自由移动来降低整体的能量。但这并不适用于所有固体，一些材料可以通过将每个电子限制在原子周围的盒子中来降低整体的能量。我们把电子能够在其中自由移动的材料称为金属，把电子被放在盒子中的材料称为绝缘体。

这便是量子力学对固体物理学做出的一种解释。在很低的温度条件下，所有固体或者导电或者不导电，我们将前者称为金属，将后者称为绝缘体。

金属（比如铝）是电的良导体，因为其最外层电子满足泡利不相容原理，它们处于不同的动量态，并且可以在固体中自由移动；而绝缘体的每个电子都处在原子周围的盒子（化学键）中。为了把一个原子从金属固体中移除，我必须首先捕获其中一个自由移动的电子，并将它束缚在一个带正电荷的原子上，即把它放进一个盒子里，这样一来，我就可以把中性的原子从固体中拉出来。但是，这会消耗若干电子伏特的能量，而且这些能量相当于使金属中的原子聚集在一起的结合能。由于金属中的原子之间不以化学键直接结合，因此原子很容易互换位置，这就是为什么金属可以轻易地被拉伸成线状或被压成薄片，而不丧失它们结构上的一致性。如果光被固体吸收，则总有一个自由电子能够吸收光的能量并将这些能量再次释放出来，这就是金属能反光并有金属光泽的原因。自由电子的存在，使金属成为电和热的良导体。

绝缘体（比如钻石）中的所有电子都被束缚在化学键中（就像我们讨论过的，每个盒子中有两个电子）。因此它们是电的不良导体，而且只能通过原子的振动（声波）导热。如同原子中的电子一样，盒子中的电子只能处于特定的能量态，如果其他能量态的光照射到绝缘体上，光子的存在会被忽略。这就是钻石、玻璃等一些绝缘体能透过可见光的原因。材料的性质与电子所处盒子的构造之间关系密切，这就是为什么晶体结构的变化，比如碳从石墨变为钻石，会在光学和电学性质方面发生巨大变化。在这里，盒子是指原子间直接的、刚性的化学键［图12-4（b）］，这些化学键的种类和成分决定了晶体的结构和硬度（钻石很坚硬，而用来做铅笔芯的石墨很软）。我们可以从最本质的层面上理解绝缘体和金属之间的所有不同，即固体中原子的最后几个未配对电子为满足泡利不相容原理，存在于真实空间（绝缘体）还是动量空间（导体）中。

因此，通过摆弄一条一面黑色、一面白色的色带，我们了解了世界为什么是现在这个样子。注意，并非所有物质的内禀角动量值都等于/2。一些物质，比如氦原子或者光子，其内禀角动量值为零或者，这一貌似微小的差异催生了超导体和激光。