魔鬼物理学2:揭示海森堡不确定性原理

在薛定谔提出他的方程之前，沃纳·海森堡正在发展原子物理学的另一种理论。物质的波动性也是著名的海森堡不确定性原理的核心，但海森堡对德布罗意的物质波如何解释原子的吸收光谱线的问题持完全不同的看法。按照前文的讨论，电子在圆形轨道上绕原子核运转的传统观点与电子发射光谱的不连续变化不符。海森堡对电子的行为以及电子在原子内位置的思考陷入了困境，最终他选择放弃计算电子的位置。这是一个成功的策略。

物理学是一门实验科学，为了解决原子测量问题与电磁学、热力学理论之间的冲突，量子力学应运而生。海森堡认识到，相较永远无法被证实的预测，任何关于原子的理论都需要（而且只需要）与实验观测相一致！谁会关心电子在原子内部的“真正”位置呢？谁能够确切地测量出电子的位置，从而证真或证伪这种预测？如果不能，就忘了它吧！什么是可以测量的呢？比如，线性光谱中一个原子发射的光的波长。所以，让我们建立一个理论来描述原子从一种状态转换到另一种状态时的能量差。海森堡的原子模型由一组用来描述电子可能处于不同状态的数字，以及使电子从一种状态转变为另一种状态的规则构成。当与观测到的氢原子吸收或发射光谱做比较时，海森堡的方法得出的结果与观测值完全相符。

1925年，海森堡前往位于北海东南隅的德属赫尔戈兰岛静修，在那里他对自己的理论方法的细节进行了完善。与薛定谔形成鲜明对比的是，海森堡深知，他最优秀的工作都是在排除所有干扰的情况下完成的。尽管这种与世隔绝的状态客观上满足了他拓展思路的要求，他来到岛上生活的动机却相当现实：海森堡患有严重的过敏症，为了躲避哥廷根附近的花粉，他来到了树木稀少的赫尔戈兰岛。在这座偏僻的海岛上，海森堡殚精竭虑地发展自己的理论，漫步山间是这位徒步爱好者仅有的休闲活动。

在这座岛上，海森堡为电子在原子中可能存在的状态构建了一组对应的值，并给出了电子在不同状态之间转换的规则。他回到柏林，向马克斯·玻恩展示了他的理论雏形。玻恩起初感到很困惑，但在他反复审视海森堡的工作，并试图理解这些转换规则的过程中，他产生了一种强烈的似曾相识的感觉。玻恩和柏林的另一位物理学家帕斯库尔·约当最终认识到，海森堡独立发展出了一套用以描述他的理论的数学符号，即“矩阵”。这种数学符号是100多年前对求解一系列存在很多未知变量的方程有浓厚兴趣的数学家发明的，这个数学分支被称为线性代数或矩阵代数。因此，海森堡在不经意间重新发明了一个已经转动多年的“车轮”。

顺便说一句，这是常有的事情。我们发现，在物理学中，解决一个极富挑战性的问题所要用到的数学方法，多半已经问世一个多世纪了。数学家们只是在做他们的本职工作，而不是为了预测或解决任何物理问题。有两个著名的例外：牛顿为了检验他对天体运动的预测，发明了微积分；现代弦理论学家在研究物理学前沿问题的同时也在发明必要的数学工具。

海森堡运用矩阵计算法建立的理论，是对电子在原子中行为的另一种解释，他因此获得了1932年的诺贝尔物理学奖。海森堡的理论发表于1925年，过了不到一年时间，薛定谔就建立了物质波方程来解释原子中电子的相互作用。除了都能精确地预测原子的线性光谱之外，两种理论对量子世界的描述看起来没有任何相似之处。1926年，薛定谔成功地通过数学运算将一种理论转化成另一种，从而证明两种理论实际上是等价的。尽管这两种理论都没有采纳电子椭圆轨道的说法，但它们都依赖于德布罗意的物质波假说。这两种理论都利用了我们今天称之为“电子的波函数”的概念，并给出了计算原子中电子的平均动量、平均位置和其他性质的数学方法。按照本书的写作目的，我们不需要深入探讨这两种理论，因为我们的目标是理解量子力学的概念是如何为诸如激光和核磁共振成像等现代科学奇迹奠定理论基础的。

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在海森堡的理论中，有一个不容忽视的环节引发了大量的误解和广泛的争论，这就是著名的“不确定性原理”。如果你不介意，容我赘言几句，澄清一下“不确定性原理”的真实含义。其实这不太复杂，只要承认物质的波动性即可。

不确定性原理假定了一个粒子位置的不确定性和其动量的不确定性之间的关系。海森堡发现这两种不确定性的乘积必须（稍后会提到）大于普朗克常数h除以4π。用普朗克常数除以4π的原因与对波的技术处理有关，在这里我们无须关注。普朗克常数h一次又一次地出现在对原子体系的描述中，这表明普朗克对能量的粒子属性的初始猜想准确无误，通过引入h，他发现了一个自然界的新的基本常数。在理解宇宙是如何组成和运转的过程中，普朗克常数与光速以及电子的电荷同等重要。

在此我要强调一下，不确定性原理并不要求被测量粒子的位置或动量的精确性，也不要求永远不能同时测量一个粒子的位置和动量，但它确实抓住了测量问题的症结所在。

假设我可以通过实验同时测量一个电子的位置和它的动量（接下来，我就来介绍如何测量）。我可能会发现，电子位于距离某一给定点x=2.34528976543901765438厘米的位置上，而且它的动量值为p=14.254489765539989021千克·米/秒。在测量的过程中，肯定会得到带有很多位小数的结果，但为了确认它们确实是电子的位置和动量值，我在完全相同的条件下重复做实验。如果它们都是位置和动量的真值，我应该可以再次测量得到这些结果。第二次进行测量，我发现电子的位置是x=2.3452891120987693790厘米，动量值是p=14.2544100876495832002千克·米/秒。一方面，x和p值的前几位小数与之前的测量结果完全一致；另一方面，后几位小数，则与第一次的测量结果完全不同。

在多次实验之后，我发现电子的平均位置是2.32428厘米，平均动量值是14.254千克·米/秒，如图7-1所示。也就是说，唯一可信的测量结果是位置和动量的平均值。我可以用电子在某一位置出现的次数和该位置的值作图，这样的图看起来就像我们熟悉的钟形曲线，有史以来学生们一直对它有所了解并心怀畏惧。这条曲线的最高点表示在观测中出现次数最多的位置，也表明了电子的平均位置。在最高点，曲线变得很狭窄；在半高处，曲线的宽度对应它的“标准差”，标准差告诉我们在多大范围内我们可以相信由钟形曲线得到的平均值。标准差越大，平均值的不确定性也越大。这些标准差在数学上也被称为“不确定性”，受到海森堡“不确定性原理”的限制。

图7-1　位置（左图）和动量（右图）测量值的直方图。垂直的虚线代表位置和动量的平均值，小箭头表示每一种测量值的标准差

为了说明标准差，我们来举个例子。某班的100名学生参加期末考试，如果所有学生都恰好得到了百分制的50分，那么平均分是50分，标准差为零。也就是说，如果有人告诉你平均分是50分而标准差为0，那么任何一名学生的考试分数都不会存在模糊性或不确定性。现在，如果有90个学生得了50分，5名学生得了55分，5名学生得了45分，此时平均分仍然是50分，但学生的分数有了一个小的分布范围。尽管平均分仍然是50分，但一些学生得到的是和平均分不同的分数。现在，有一个值得注意的小问题：随机选择一名学生，他的分数是否等于平均分50分？在极端情况下，这100名学生可以得到完全不同的分数，从1、2分的低分到50分上下，再到98、99和100分满分。平均分仍然是50分[1]，但现在分数的分布范围是从1分到100分。100名学生中只有一名学生的期末考试分数恰好等于班级的平均分，巨大的标准差表明，对于任意一名学生的表现而言，平均分都不是特别有意义或有代表性的指标。因此在处理大量数值时，我们必须问的两个问题是：平均值是多少？标准差是多少？

再回到我同时测量一个电子的位置和动量值的问题上。我发现多次实验之后，我得到的是一条关于电子位置的钟形曲线，该曲线给出了电子的平均位置；我还得到了一条关于电子动量的钟形曲线。这两条钟形曲线的标准差就是海森堡不确定性原理所论述的内容。海森堡的理论告诉我们，电子位置的标准差与电子动量的标准差是相互联系的，改变其中之一就会使另一个发生变化。图7-1中的两个分布范围不是独立的，缩小一个分布范围必然会使另一个范围扩大。海森堡经计算得出，两个标准差的乘积不能小于h/4π。任何设法缩小动量标准差的实验（以此为例），都必然会扩大位置的标准差。

为什么电子位置的标准差和电子动量的标准差是相关的呢？因为物质波与电子的运动相关。物质波的波长在某种意义上决定了电子位置测量的精确度，这个波长与电子动量之间的关系为：动量×波长=h。(www.chuimin.cn)

假设已知电子的动量值，而且相当精确。那么平均动量即动量，就像我们前面讲过的班级期末考试的例子，100名学生全都得到了相同分数——50分。对于这种电子，其物质波的波长是同一个值，如图7-2上面曲线所示。根据定义，一个单一的波会从宇宙的一端无限延展到宇宙的另一端。那么，对于一个如此完美的波，电子的位置将会是怎样的呢？它的平均值可以很清楚地测定，但是对应的标准差会是无穷大的。

图7-2　电子的两个可能的物质波示意图。上面的曲线表示的是单一的波。鉴于只有一个波长值，动量值也是精确的，其代价便是电子位置的无限不确定性。在下面的曲线中，许多不同波长的波集合起来形成“波包”。电子空间位置的不确定性降低了，但是电子动量的不确定性却相应地增加了

海森堡得出的电子位置和动量的标准差之间的相关关系，是由于电子的位置和它的物质波波长相关，物质波波长又与电子的动量相关。为了缩小电子位置的标准差，除平均位置附近的小区域外，其他位置对应的电子物质波的波长应为零。但是，为了形成一个类似图7-2下面曲线所示的波包，需要将许多波叠加起来，这些波的波长略有不同，这样一来，它们就会在平均位置附近的狭窄区域之外被破坏性地消除。根据波长与动量的关系式——动量×波长=h，将许多不同的波长进行叠加，相当于说局部区域内的电子有多个可能的动量值。我们希望求得的电子位置越精确，也就是说，位置的标准差越小，我们需要叠加的不同波长就越多，而相应的动量值的标准差也越大。由此，两个标准差因物质波关系式（动量×波长=h）而产生了相关关系。

当然，如果不考虑电子的动量，我们可以按照所需的任意精确度测量一个电子的位置，反之亦然。电子是具有精确的动量（精确到没有标准差），还是具有精确的位置（精确到没有标准差），取决于我们想进行何种测量。在没有给出问题之前不会有答案，我提出什么问题决定了我会得到什么答案。

前面描述的一束波被称为“波包”，如图7-2下面曲线所示，在小于波包的尺度上去讨论电子的位置是毫无意义的。我如何测量电子的动量呢？一种方法是记录它在两个不同时刻的位置。知道了移动的距离和时间，我就能确定它的速度，再用速度乘以质量（假设我可以规避相对论修正）就可以得到动量。我如何得知电子在两个不同时刻的位置呢？汽车的速度不难确定，你只需要确定汽车在两个不同时间点上的位置。那么，我如何看到一个电子呢？和我看见一辆汽车的方式相同：光照射在汽车上，再反射到我的眼睛里（或其他探测器上）。汽车比可见光的波长大很多，因此为了观测电子，我们需要波长小于电子波包范围的光。频率×波长=光速，这一简单的公式给出了光的波长和频率之间的关系。由于光速是一个常数，波长越小，光的频率就越大，根据能量=h×频率，光子的能量也越大。因此，为了测量一个波包很小（位置的不确定性很小）的电子的动量，我必须用非常高能的光子去撞击它。当光子从电子上反射回来，电子的反冲击改变了光子的动量。经过仔细的数学分析你会发现，海森堡的不确定性原理是最佳结论。你可能会想，或许有一种巧妙的方案，可以绕过光的波长的限制，就能确定电子的位置和动量。很多人做过尝试，但都失败了。

如果海森堡简单低调地把他的原理命名为“标准差的补充原理”，我们或许就可以避免不计其数的“量子力学证明，任何事都具有不确定性”的空洞言论。

在深入了解了著名的不确定性原理的物理学含义之后，我们现在来看看下面这则经典的“书呆子”幽默：

沃纳·海森堡因为驾车超速而被一名高速公路的巡警拦下，巡警走到海森堡的车前，俯下身问他：“你知道你的驾驶速度有多快吗？”海森堡答道：“不知道，但是我知道我现在的位置！”

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对于钟形曲线的平均值和标准差的理解还和气候变化相关，这也解释了为什么科学家对全球平均气温升高了几摄氏度表现得那么紧张，虽然这听上去并不是那么可怕。

在北美气温直方图上，横坐标给出了日均气温，纵坐标给出了一年中不同的日均气温出现的天数。与预想的一样，我们看到了一个钟形曲线，与班级考试分数以及对电子位置或动量的测量所得到的曲线大体相同。在一年的温度直方图上，日均气温会出现一个峰值，峰值外较低或较高的温度是曲线的两条小尾巴。

全年平均气温升高几摄氏度会带来哪些影响呢？简单回顾一下班级考试的例子，这个问题的答案就显而易见了。假如我们给每位学生的期末考试成绩额外加上5分，如果先前的平均分是50分，现在就会变成55分，最低分则从零分变为5分，可能出现的最高分从100分增加至105分。平均成绩从50分增加至55分，这样的变化似乎不大，对大多数学生也没有太大影响。给每位同学的分数都统一加上5分，曲线的形状不会发生改变。此外，我没有改变成绩的等级标准，比如多少分以上是A，多少分至多少分是B，等等。在这种情况下，我发现通过将分数上调5分，得A的学生人数显著增加。平均分的微小改变，虽然不会对大多数学生的考试分数产生重大影响，却会对那些接近却没有达到A分数等级线的学生产生显著影响。

全球平均气温升高几摄氏度与给每位学生额外加5分的情况类似，因此气温高于正常平均温度的天数（对应于那些通过加分得到A的学生）将会更多，这正是导致极端气候状况出现的原因。平均气温升高几摄氏度对每一天的影响并不大，在像明尼苏达这样的州，这种情况在冬天甚至会备受欢迎，因为这意味着不会有极端寒冷的天气。但是，美国其他地区在夏天就会有很多天的气温比正常温度高。要加热或冷却像墨西哥湾这么多的水需要很长时间。这些“比平常热”的日子的热量被“存储”在海洋中，更高的水温可以为飓风、热带风暴和其他极端天气事件提供能量。而且，高温天数越多，北方区域就会有更多的冰融化。初降的雪能够反射80％～90％射向它的太阳光，而液态水能吸收（并存储）70％的太阳光，由此形成了“更高的温度导致气候变暖”的正反馈机制。这和海森堡的不确定性原理一样，平均值不像标准差的宽度那么重要，钟形曲线那条长长的尾巴才是导致我们毁灭的原因。[2]

[1]严格来说，此情形下的平均分是50.5分。但是，你应该能懂我的意思。

[2]不好意思，没有理由开这样的玩笑。