，n）总的分散程度，对SST 进行分解，得到其中，．可以证明，，由此得其中，．SSR 叫做回归平方和，由于所以SSR 是回归值 的离差平方和，它反映了yi（i＝1，2，…......
2023-11-18
偏相关分析及显著性检验
【摘要】：偏相关分析就是在研究多个相关变量间的关系时，固定其他变量不变而研究其中某两个变量直线相关程度与性质的统计分析方法。3个相关变量x1，x2，x3的一级偏相关系数共有3个，记为r12·3、r13·2、r23·1。四个相关变量x1，x2，x3，x4的二级偏相关系数共有C3＝6个，记为r12·34，r13·24，r14·23，r23·14，r24·13，r34·12。［例9］检验［例8］所得偏相关系数的显著性。检验结果与t检验一致。
多个相关变量间的关系是较为复杂的，其中任何两个变量间常常存在不同程度的直线相关，但是这种相关又包含有其他变量的影响。此时，直线相关分析并不能真实反映两个相关变量间的关系，只有消除了其他变量的影响之后，研究两个变量间的相关，才能真实反映这两个变量间直线相关程度与性质。偏相关分析就是在研究多个相关变量间的关系时，固定其他变量不变而研究其中某两个变量直线相关程度与性质的统计分析方法。
一、偏相关系数的意义及计算
（一）偏相关系数的意义
在多个相关变量中，其他变量保持固定不变，所研究的两个变量间的直线相关称为偏相关（partial correlation）。用来表示两个相关变量偏相关的程度与性质的统计数叫偏相关系数（partial correlation coefficient）在偏相关分析中，根据被固定的变量个数的多少将偏相关系数分级，偏相关系数的级数等于被固定的变量的个数。
当研究两个相关变量x1，x2的关系时，用直线相关系数r12表示x1与x2直线相关的程度与性质。此时固定的变量个数为0，所以直线相关系数r12又叫作零级偏相关系数
当研究3个相关变量x1，x2，x3两两间的相关时，须将其中的1个变量固定不变，研究另外两个变量间的相关，即此时只有一级偏相关系数才真实地反映两个相关变量间直线相关的程度与性质。3个相关变量x1，x2，x3的一级偏相关系数共有3个，记为r12·3、r13·2、r23·1。
当研究四个相关变量x1，x2，x3，x4两两间的相关时，须将其中的两个变量固定不变，研究另外两个变量间的相关，即此时只有二级偏相关系数才真实地反映两个相关变量间直线相关的程度与性质。四个相关变量x1，x2，x3，x4的二级偏相关系数共有C3＝6个，记为r12·34，r13·24，r14·23，r23·14，r24·13，r34·12。
一般，当研究M个相关变量x1，x2，…，xM两两间的相关时，须将其中的M-2个变量保持固定不变，研究另外两个变量的相关才能真实地反映这两个相关变量间的相关，即此时只有M-2级偏相关系数才真实地反映这两个相关变量间直线相关的程度与性质。M个相关变量x1，x2，…，xM的M-2级偏相关系数共有
＝M（M-2）/2个xi与xj的M-2级偏相关系数记为rij（i、j＝1，2，…，M，i≠j）。
偏相关系数rij的取值范围为［-1，1］即-1≤rij≤1
（二）偏相关系数的计算
1．一级偏相关系数的计算。
设3个相关变量x1，x2，x3有n组实测值
二级偏向关系数可由一级偏相关系数计算，计算公式为
3．M-2级偏向关系数的计算。
设M个相关变量x1，x2，…，xm有n组观测值
M-2级偏向关系数rij，的计算方法如下。首先计算直线相关系数rij
其中，SPij＝∑（xi-xi）（xj-xj），SSi＝∑（xi-xi）2，SSj＝∑（xj，xj）2，并有直线相关系数rij组成相关系数矩阵R
然后求相关系数矩阵R的逆矩阵C
相关变量xi与xj的M-2级偏相关系数rij．的计算公式为
(www.chuimin.cn)
［例8］根据［例5］的有关数据，计算偏相关系数ry1．2，ry2．1和r12．y。首先，根据［例5］的有关数据，计算直线关系数ry1，ry2和r12。
其次，将算得的各个rij代入式（7-24），即得偏向关系数
表明，x1和y、x2呈正偏向关；x1和x2呈负偏向关。当然，这些偏相关的显著性还有待检验。
二、偏相关系数的假设检验
（一）t检验
设相关变量xi与xj的总体偏相关系数为pij，则对偏相关系数rij．进行假设检验的无效假设与备择假设为：H0：pij＝0，HA：pij≠0
t检验计算公式为
其中，srij为偏相关系数标准误
n为观测值组数，M为相关变量总个数。
（二）查表法
由df＝n-M，查附表3，得，r0．01（n-M）。 将偏相关系数rij的绝对值与r0．05（n-M），r0．01（n-M）进行比较，做出统计推断：
若｜rij｜＜r0．05（n-M），P＞0．05，则偏相关系数rij不显著，或者说xi与xj偏相关不显著；
若r0．05（n-M）≤｜rij｜＜r0．01（n-M）＜p≤0．05，则偏相关系数rij显著，或者说xi与xj偏相关显著；
若｜rij｜≫r0．01（n-M），p≤0．01，则偏向关系数rij极显著，或者说xi与xj偏相关极显著。
［例9］检验［例8］所得偏相关系数的显著性。
采用t检验法，因为
由df＝n-M＝15-3＝12。查t值表，得t0．01（12）＝3．055，因为ty1·2、ty2·1、｜t12·y｜均大于t0．01（12），P＜0．01，所以上述3个偏相关系数都是极显著的，因为ry1·2＝0．8487＞0、ry2·1＝0．9204＞0、r12·y＝-0．9281＜0，所以，确切地说，产量y与穗数x1、每穗粒数x2呈极显著的正偏相关，而穗数x1与每穗粒数x2呈极显著的负偏相关。
若用查表法，由df＝n-M＝15-3＝12查附表3，得r0．05（12）＝0．532，r（0．0112）＝0．661，因为ry1·2＝0．848 7、ry2·1＝0．920 4、｜r12·y｜＝0．928 1均大于r（0．0112），P＜0．01，所以这3个偏相关系数都是极显著的。检验结果与t检验一致。
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