生态数据分析：多元线性回归

2023-11-17 理论教育版权反馈

【摘要】：式（7-1）就是多元线性回归的数字模型。（二）建立多元线性回归方程设y对x1，x2，…，m）称为高斯乘数，是多元线性回归分析假设检验与进一步统计分析所需要的。建立产量y与穗数x1、每穗粒数x2的二元线性回归方程。如果此回归关系是真实的，则可依据该二元线性回归方程由穗数x1、每穗粒数x2预测和控制产量y。统计学已证明，在m元线性回归分析中，离回归平方和的自由度为。

多元线性回归分析包括：根据因变量与多个自变量的实际观测值建立多元线性回归方程；检验各个自变量共同对因变量线性影响的显著性；检验每个自变量对因变量线性影响的显著性；选择仅对因变量有显著线性影响的自变量，建立最优多元线性回归方程等内容。

一、多元线性回归方程的建立

（一）多元线性回归的数学模型

设因变量y与自变量x1，x2，…，xm有n组实际观测值。

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假定因变量y与自变量x1，x2，…，xm间存在线性关系，实际观测值yj可以表示为

其中，x1，x2，…，xm为可以观测的一般变量（或为可以观测的随机变量）；y为可以观测的随机变量，随x1，x2，…，xm而变，受试验误差影响；∈j为相互独立、且都服从N（0，σ2）的随机变量。

式（7-1）就是多元线性回归的数字模型。我们可以根据y与x1，x2，…，xm的n组实际观测值对β0，β1，β2，…，βm及方差σ2作出估计。

（二）建立多元线性回归方程

设y对x1，x2，…，xm的m元线性回归方程为

其中，b0，b1，b2，…，bm为根据最小二乘法（least squares method）求得的β0，β1，β2，…，βm应使实际观测值y与回归估计值的偏差平方和 pagenumber_ebook=56,pagenumber_book=44 ＝（yj-b0-b1x1j-b2x2j-…-bmxmj）2为最小。Q是关于b0，b1，b2，…，bm的m＋1元函数。

根据多元函数求极值点的方法，令Q对b0，b1，b2，…，bm的偏导数为0

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经整理得：

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由方程组（7-2）的第一个方程可得

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其中， pagenumber_ebook=57,pagenumber_book=45

若记 pagenumber_ebook=57,pagenumber_book=45

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并将b0＝y-b1x1-…-bmxm分别代入方程组（7-2）中的后m个方程，经整理可得到关于b1，b2，…，bm的正规方程组为

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解正规方程组（7-4），即得b1，b2，…，bm，于是，得到y对x1，x2，…，xm的m元线性回归方程

y对x1，x2，…，xm的m元线性回归方程的图形为m＋1维空间的一个平面，称为回归平面（regression plane）；b0称为回归常数项（regression constant），当x1＝x2＝…＝xm＝0时，＝b0，如果x1＝x2＝…＝xm＝0在研究范围内，则b0表示y的起始值；bi（i＝1，2，…，m）称为因变量y对自变量x的偏回归系数（partial regression co⁃efficient），表示当其余m-1个自变量都固定不变时，自变量xi每变化个单位，因变量y平均变化的数量，确切地说，当bi＞0时，自变量xi每增加一个单位，因变量y平均增加bi个单位；当b＜0时，自变量xi每增加一个单位，因变量y平均减少｜bi｜个单位。

若将带入式（7-5），则得

式（7-6）为y对x1，x2，…，xm的中心化形式的m元线性回归方程。

对于正规方程组（7-4），记

pagenumber_ebook=58,pagenumber_book=46

则正规方程组（7-4）可用矩阵形式表示为

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即

(www.chuimin.cn)

其中，A为正规方程组的系数矩阵、b为偏回归系数矩阵（列向量）、B为常数项矩阵（列向量）。

设系数矩阵A的逆矩阵为C，即A-1＝C，则

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其中C矩阵的元素Cij（i、j＝1，2，…，m）称为高斯乘数（Gauss multiplier），是多元线性回归分析假设检验与进一步统计分析所需要的。

关于求系数矩阵A的逆矩阵A-1的方法有多种，请参阅线性代数教材，这里不赘述。

对于矩阵方程（7-8）求解

b＝A-1Bb

b＝CB

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关于偏回归系数b1，b2，．．．，bm的解可表示为

或

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［例5］测定15块杂交稻“eD优63”的穗数（x1，万/666．7 m2）、每穗粒数（x2）和稻谷产量（y，kg/666．7 m2），结果列于表7-1。建立产量y与穗数x1、每穗粒数x2的二元线性回归方程。

表7-1　eD优63穗数x1每穗粒数x2和产量y的测定值

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首先计算得

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其次，将上述有关数据代入（7-4），得到关于偏回归系数b1和b2的正规方程组 pagenumber_ebook=60,pagenumber_book=48

采用矩阵解法求偏回归系数b1和b2的正规方程组的解。

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根据式（7-4），b1、b2的解为

pagenumber_ebook=60,pagenumber_book=48

而

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于是，得到产量y与穗数x1、每穗粒数x2的二元线性回归方程：

上述回归方程和偏回归系数的显著性还有待测验。如果显著，b1＝24．967 9表示在每穗粒数x2固定不变时，穗数x1每增加1万/666 7 m2，产量y将平均增加24．967 9 kg/66·7 m2；b2＝5．238 1表示当穗数x1固定不变时时，穗粒数x2每增加1粒，产量y将平均增加5．238 1 kg/666．7 m2。因x1＝0，x2＝0不在研究范围内，所以不讨论b0＝-506．564 7的实际意义。

如果此回归关系是真实的，则可依据该二元线性回归方程由穗数x1、每穗粒数x2预测和控制产量y。和在一元线性回归中讨论过的一样，进行这种预测和控制一般应限定在该回归方程的自变量取值范围内，即x1在区间［17．2，2．3］内取值，x2在区间内［98．1，132．0］取值。

三、多元线性回归方程的离回归标准误

以上根据最小二乘法，使偏差平方和∑（y-）2最小建立了多元线性回归方程。偏差平方和∑（y-）2的大小表示了回归平面与实测点的偏离程度，因而偏差平方和又称为离回归平方和。统计学已证明，在m元线性回归分析中，离回归平方和的自由度为（n-m-1）。于是可求得离回归均方为∑（y-）2/（nm-1）。　离回归均方是模型（8-1）中σ2的估计值。