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2023-08-15
数列的概念与定义及应用
【摘要】：(一) 数列的概念定义1按照一定顺序排列的一列数a1,a2,…
(一) 数列的概念
定义1 按照一定顺序排列的一列数a1,a2,…,an,…叫作数列,记作{an },其中的每一个数叫作数列的项,a1称为数列的第一项;an称为数列的第n 项,也叫作数列的通项．如果一个数列的第n项an和n 之间的函数关系可以用一个公式来表示,则把这个数学式子叫作数列的通项公式,由数列通项公式的定义可知,数列的通项是以正整数集的子集为其定义域的函数,因此,通项可记作an＝f(n)(n∈N)．
数列分为有穷数列和无穷数列,下文研究的是无穷数列,下文提到的“数列”都是指无穷数列．
(二) 等差数列及其求和公式
定义2 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,公差通常用字母d 表示．如果已知第一项和公差,则等差数列{an }的通项公式可表示为
等差数列{an }的前n 项和公式为
由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d,以上求和公式又可以写为
(三) 等比数列及其求和公式
定义3 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母q表示．
等比数列{an }的通项公式是
当q≠1时,等比数列{an }的前n 项和
等比数列{an }的前n 项和公式为
当q＝1时,等比数列{an }的前n 项和Sn＝na1．(www.chuimin.cn)
(四) 数列的求和方法
(1)公式法．
对于常见的等差和等比数列的求和,直接应用求和公式．
(2)错位相减法．
对于一个等差数列{an }与一个等比数列{bn }相乘构成的新数列{an·bn}的求和问题,通常采用错位相减法:通过Sn－qSn 来构造新的等比数列．
使用错位相减法时,应注意在写出Sn 与q·Sn 的表达式时将两式“齐次对齐”,以便写出“Sn－qSn”的准确表达式．
利用以上方法,可以推导出等比数列的求和公式,请读者自行推导．
(3)裂项相消法．
所以数列的每一项都可以分裂成两项的差的形式．
因此
(4)递推法．
例3 求和:Sn＝12＋22＋…＋n2．
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