美丽幻方构建与典藏5阶、7阶、9阶

2023-11-08 理论教育版权反馈

【摘要】：有序的7 个10 进制数，1、10、19、28、30、39、48，构成1 个数字向量，记为。7 阶方阵的列，由左至右，依次记为第1、2、3、4、5、6、7 列。▽（示例）1 个7 阶幻方的8 个同构形态▼（定义）马步形态之长方步①…在7 阶方阵的到达格填写下一个数；称这样的选格填数方式为“长方步”，简记为。

▼（定义）7 进制的两位数

1 个两位数，如果符合条件：

①…左位的数码，只能是0、1、2、3、4、5、6 这7 个自然数中的1 个；

②…右位的数码，只能是1、2、3、4、5、6、7 这7 个自然数中的1 个；

③…将左位的数码乘7，再加上右位的数码，即可转化成10 进制数；

那么称这个两位数为7 进制的两位数。

▽（示例）7 进制的两位数

已知，54 是7 进制的两位数，则

①…54 左位的数码5，是0～6 这7 个自然数中的1 个；

②…54 右位的数码4，是1～7 这7 个自然数中的1 个；

③…将54 左位的数码5 乘7，再加上右位的数码4，即可转化成10 进制数39。

▼（定义）左码、右码、左右码

如果1 个两位数是7 进制的两位数，则

称其左位的数码为左码，称其右位的数码为右码，称这个7 进制的两位数为左右码。

▽（示例）左码、右码、左右码

已知，54 是7 进制的两位数，则

称数码5 是左码，称数码4 是右码，称7 进制的两位数54 是左右码。

▼（定义）向量

有序的若干个数码的整体，称为1 个向量。

有序的7 个10 进制数，1、10、19、28、30、39、48，构成1 个数字向量，记为

（1，10，19，28，30，39，48）。

▼ （定义）7 阶方阵

49 个字符，如果符合条件：

①…字符是空格、左码、右码、左右码、10 进制数这5 种类别中的1 种；

②…排成7 行、7 列的方阵；

那么称这49 个字符构成了1 个7 阶字符方阵，称7 阶字符方阵的全体为7 阶方阵。

▽（定义）7 阶方阵的行、列、对角线、格的标识

7 阶方阵的行，由上至下，依次记为第1、2、3、4、5、6、7 行。

7 阶方阵的列，由左至右，依次记为第1、2、3、4、5、6、7 列。

7 阶方阵的对角线，左上至右下方向的，称为左对角线；右上至左下方向的，称为右对角线。

7 阶方阵第a 行、第b 列的格，记为格（a，b），称（a，b）为格的坐标（1 ≤a、b ≤7）。

▼（定义）7 阶方阵的左斜线

7 阶方阵的左1 斜线，即方阵的左对角线，是通过格（1，1），又通过格（7，7）的一条斜线；

7 阶方阵的左2 斜线，即平行于左对角线，且通过格（2，1），及通过格（1，7）的两段斜线；

……

7 阶方阵的左7 斜线，即平行于左对角线，且通过格（7，1），及通过格（1，2）的两段斜线。

▽（示例）7 阶方阵的左斜线

▼（定义）7 阶方阵的右斜线

7 阶方阵的右1 斜线，即方阵的右对角线，是通过格（1，7），又通过格（7，1）的一条斜线；

7 阶方阵的右2 斜线，即平行于右对角线，且通过格（2，7），及通过格（1，1）的两段斜线；

……

7 阶方阵的右7 斜线，即平行于右对角线，且通过格（7，7），及通过格（1，6）的两段斜线。

▽（示例）7 阶方阵的右斜线

▼（定义）7 阶方阵的斜线

7 阶方阵的全体左斜线与右斜线，统称为7 阶方阵的斜线。

称左1 斜线、右1 斜线为主斜线，又称为主对角线，简称为对角线，7 阶幻方共有2 条对角线；

称左2～左7 斜线、右2～右7 斜线为副斜线，又称为副对角线，7 阶幻方共有12 条副斜线。

▼（示例）7 阶方阵

▽（定义）7 阶数字方阵的行和、列和、斜和

某行全部7 个数之和，称为该行的行和；某列全部7 个数之和，称为该列的列和。

某对角线全部7 个数之和，称为该对角线的对角线和。

某斜线全部7 个数之和，称为该斜线的斜和。

▼（定义）7 阶幻方

1～49 这49 个自然数，如果符合条件：

①…构成1 个7 阶数字方阵；

②…全部7 个行和、7 个列和、2 个对角线和都相等，等于175；

那么称这个7 阶数字方阵为7 阶幻方，称和数175 为幻和。

▽（定义）［对称］7 阶幻方

1 个7 阶幻方，1 个数为中心数，其余48 个数，每2 个数为1 组，如果符合条件：

①…幻方中心格内的数为25；

②…任意1 组的2 个数与中心格共线，与中心格异侧等距，且和数等于50；

那么称这2 个数对称，称这个幻方为［对称］7 阶幻方，称和数50 为对称和。

▽（定义）［完美］7 阶幻方

1 个7 阶幻方，如果全部12 条副对角线的和都相等，等于幻和175，则称之为［完美］7 阶幻方。

▼（定义）【对称· 完美· 7 阶幻方】

1 个7 阶幻方，如果既［对称］又［完美］，则称之为【对称· 完美· 7 阶幻方】。

▽（示例）【对称· 完美· 7 阶幻方】

▼（定义）阵图与阵图同元，阵图与阵图同构

已知阵图M、N，如果M 与N 的构成元素相同，那么称M 与N 同元，记为M\N；

已知阵图P、Q，如果P 与Q 同元，且元素间的结合方式相同，那么称P 与Q 同构，记为P ≌Q。

▽ （定义）1 个7 阶幻方的8 个同构形态

①…若1 个7 阶幻方，以方阵的中心格为中心，在平面上顺时针旋转90 度，或90 度的整倍数，则………

称这个7 阶幻方做了1 个平面旋转的变换；

②…若1 个7 阶幻方，以方阵的中央列为轴，在空间翻转180 度，则

………称这个7 阶幻方做了1 个空间翻转的变换；

③…在做了有限多次的平面旋转和空间翻转后，7 阶幻方的数与数之间的结合方式不会改变；

④…称1 个幻方变换前的形态与变换后的形态为两个同构形态；

⑤…1 个7 阶幻方，可生成7 个同构形态，连同初始形态，1 个幻方共有8 个同构形态；

⑥…本质上，两个同构的幻方，其实不过是某个幻方全部8 个同构形态中的2 个同构形态而已；

⑦…对于1 个幻方，我们只研究其8 个同构形态中的1 个形态。

▽（示例）1 个7 阶幻方的8 个同构形态

▼（定义）马步形态之长方步（右1 上2）

①…在7 阶方阵的当前格填写1 个数；

②…以当前格为出发格，向右迈1 格、再向上迈2 格，进入到达格；(www.chuimin.cn)

③…在7 阶方阵的到达格填写下一个数；

称这样的选格填数方式为“长方步”，简记为（右1 上2）。

▽ （定义）马步形态之转向步（m，n）

①…在7 阶方阵的当前格填写1 个数；

②…之后，以当前格为出发格，横向移m 格，再纵向移n 格，进入到达格（-3 ≤m、n ≤3）；

③…在7 阶幻方的到达格填写下一个数；

称这样的选格填数方式为“转向步”，简记为（m，n）。

▽（专注）马步形态之转向步（m，n）

若m<0，则横向左移；若m=0，则停留在原列；若m ﹥0，则横向右移（-3 ≤m ≤3）。

若n<0，则纵向下移；若n=0，则停留在原行；若n ﹥0，则纵向上移（-3 ≤n ≤3）。

例如，转向步（3，-2），表示横向右移3 格，再纵向下移2 格；

例如，转向步（-2，1），表示横向左移2 格，再纵向上移1 格；

例如，转向步（0，-1），表示横向不动，纵向下移1 格；

例如，转向步（-2，0），表示横向左移2 格，纵向不动。

▼（定义）马步形态

1 个长方步与1 个转向步，二者拼合，称拼合后的整体为1 个马步形态。

▽ （记法）马步形态

例如，长方步（右1 上2）、转向步（3，-2），二者拼合成马步形态，记为（右1 上2）*（3，-2）；

例如，长方步（右1 上2）、转向步（-2，0），二者拼合成马步形态，记为（右1 上2）*（-2，0）。

▽（专注）马步形态

①…长方步只有1 个样式，即（右1 上2）；

②…转向步共有18 个样式，即（0，-1）、（-3，0）、（3，-2）、……、（2，-1）、（-3，3）；

③…马步形态用于『构建』【对称· 完美· 马步· 7 阶幻方】时的选格填数过程。

▼（示例）马步形态（界内型）

▽（示例）马步形态（跨界型）

▼（示例）马步形态相关记法综合

①…格的坐标，例如：

…格（2，1），表示格的坐标是第2 行、第1 列。

②…马步形态之长方步，即

…长方步（右1 上2），表示由当前格出发，向右迈1 格，再向上迈2 格，进入到达格。

③…马步形态之转向步，例如：

…转向步（3，-2），表示由当前格出发，横向右移3 格，再纵向下移2 格，进入到达格；

…转向步（0，-1），表示由当前格出发，横向不动，纵向下移1 格，进入到达格。

④…马步形态，例如：

…马步形态（右1 上2）*（3，-2），表示长方步（右1 上2）、转向步（3，-2）；

…马步形态（右1 上2）*（-2，1），表示长方步（右1 上2）、转向步（-2，1）。

▼（定义）士步形态之正方步（右1 上1）

①…在7 阶方阵的当前格填写1 个数；

②…以当前格为出发格，向右迈1 格、再向上迈1 格，进入到达格；

③…在7 阶方阵的到达格填写下一个数；

称这样的选格填数方式为“正方步”，简记为（右1 上1）。

▽（定义）士步形态之转向步（m，n）

①…在7 阶方阵的当前格填写1 个数；

②…以当前格为出发格，横向移m 格，纵向称移n 格，进入到达格（-3 ≤m、n ≤3）；

③…在7 阶方阵的到达格填写下一个数；

称这样的选格填数方式为“转向步”，简记为（m，n）。

▽（专注）士步形态之转向步（m，n）

若m<0，则横向左移m 格；若m=0，则停留在原列；若m ﹥0，则横向右移m 格（-3 ≤m ≤3）。

若n<0，则纵向下移n 格；若n=0，则停留在原行；若n ﹥0，则纵向上移n 格（-3 ≤n ≤3）。

例如，转向步（-1，……2），表示横向左移1 格，再纵向上移2 格；

例如，转向步（…3，-2），表示横向右移3 格，再纵向下移2 格；

例如，转向步（…0，-1），表示横向不动，纵向下移1 格；

例如，转向步（-3，……0），表示横向左移3 格，纵向不动。

▼（定义）士步形态

1 个正方步与1 个转向步，二者拼合，称拼合后的整体为1 个士步形态。

▽（记法）士步形态

例如，正方步（右1 上1）、转向步（…3，-2），二者拼合成士步形态，记为（右1 上1）*（…3，-2）；

例如，正方步（右1 上1）、转向步（-3，……0），二者拼合成士步形态，记为（右1 上1）*（-3，……0）。

▽（专注）士步形态

①…正方步只有1 个样式，即（右1 上1）；

②…转向步共有15 个样式，即（0，-1）、（-3，0）、（-1，-3）、…、（-1，3）、（0，2）；

③…士步形态用于『构建』【对称· 不完美· 士步· 7 阶幻方】时的选格填数过程。

▼（示例）士步形态（界内型）

▽（示例）士步形态（跨界型）

▼（示例）士步形态相关记法综合

①…格的坐标，例如：

………格（2，1），表示格的坐标是第2 行、第1 列。

②…士步形态的正方步，即

………正方步（右1 上1），表示由当前格出发，向右迈1 格，再向上迈1 格，进入到达格。

③…士步形态的转向步，例如：

………转向步（3，-2），表示由当前格出发，横向右移3 格，再纵向下移2 格，进入到达格；

………转向步（-3，0），表示由当前格出发，横向左移3 格，纵向不动，进入到达格。

④…士步形态，例如：

………士步形态（右1 上1）*（3，-2），表示正方步（右1 上1）、转向步（3，-2），

………士步形态（右1 上1）*（-3，0），表示正方步（右1 上1）、转向步（-3，0）。

▼（定义）斜步

马步形态和士步形态，统称为斜步形态。

▼（定义）［幂3］，［幂5］

［幂3］，幻方两对角线的k 次幂和相等（k=1、2、3）；

［幂5］，幻方两对角线的k 次幂和相等（k=1、2、3、4、5）。

▼（定义）【7 阶幻方】的级别

▽（示例）【7 阶幻方】的级别

美丽幻方构建与典藏5阶、7阶、9阶

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