美丽幻方的构建与典藏（5阶、7阶、9阶）

2023-11-08 理论教育版权反馈

【摘要】：例如，有序的5 个左右码，01、13、25、32、44，构成1 个左右码向量，记为：。5 阶方阵的左5 斜线，即平行于左对角线，且通过格（5，1），及通过格（1，2）的两段斜线。▽（定义）马步形态之转向步（m，n）① 在5 阶方阵的当前格填写1 个数；② 以当前格为出发格，横向移m 格，再纵向移n 格，进入到达格；③ 在5 阶幻方的到达格填写下一个数；称这样的选格填数方式为“转向步”，简记为（m，n）。

▼（定义）5 进制的两位数

1 个两位数，如果符合条件：

① 左位的数码，只能是0、1、2、3、4 这5 个自然数中的1 个；

② 右位的数码，只能是1、2、3、4、5 这5 个自然数中的1 个；

③ 将左位的数码乘5，再加上右位的数码，即可转化成10 进制数；

那么称这个两位数为5 进制的两位数。

▽（示例）5 进制的两位数

已知，31 是5 进制的两位数，则

① 31 左位的数码3，是0～4 这5 个自然数中的1 个；

② 31 右位的数码1，是1～5 这5 个自然数中的1 个；

③ 将31 左位的数码3 乘5，再加上右位的数码1，即可转化成10 进制数16。

▼（定义）左码、右码、左右码

1 个两位数，是5 进制的两位数，则

称其左位的数码为左码，称其右位的数码为右码，这个5 进制的两位数为左右码。

▽（示例）左码、右码、左右码

已知，31 是5 进制的两位数，则

称数码3 是左码，称数码1 是右码，称5 进制的两位数31 是左右码。

▼（定义）向量

有序的若干个数码的整体，称为1 个向量。

例如，有序的5 个左右码，01、13、25、32、44，构成1 个左右码向量，记为：

（01，13，25，32，44）。

▼（定义）5 阶方阵

25 个字符，如果符合条件：

① 字符是空格、左码、右码、左右码、10 进制数这5 种类别中的1 种；

② 排成5 行、5 列的方阵；

那么称这25 个字符构成了1 个5 阶字符方阵，称5 阶字符方阵的全体为5 阶方阵。

▽（定义）5 阶方阵的行、列、对角线、格的标识

5 阶方阵的行，由上至下，依次记为第1、2、3、4、5 行；

5 阶方阵的列，由左至右，依次记为第1、2、3、4、5 列；

5 阶方阵的对角线，左上至右下方向的称为左对角线，右上至左下方向的称为右对角线；

5 阶方阵第a 行、第b 列的格，记为格（a，b），称（a，b）为格的坐标（1 ≤a、b ≤5）。

▼（定义）5 阶方阵的左斜线

5 阶方阵的左1 斜线，即方阵的左对角线，是通过格（1，1），又通过格（5，5）的一条斜线；

5 阶方阵的左2 斜线，即平行于左对角线，且通过格（2，1），及通过格（1，5）的两段斜线；

……

5 阶方阵的左5 斜线，即平行于左对角线，且通过格（5，1），及通过格（1，2）的两段斜线。

▽（示例）5 阶方阵的左斜线

▼（定义）5 阶方阵的右斜线

5 阶方阵的右1 斜线，即方阵的右对角线，是通过格（1，5），又通过格（5，1）的一条斜线；

5 阶方阵的右2 斜线，即平行于右对角线，且通过格（2，5），及通过格（1，1）的两段斜线；

……

5 阶方阵的右5 斜线，即平行于右对角线，且通过格（5，5），及通过格（1，4）的两段斜线。

▽（示例）5 阶方阵的右斜线

▼（定义）5 阶方阵的斜线

5 阶方阵的全体左斜线与右斜线，统称为5 阶方阵的斜线。

称左1 斜线、右1 斜线为主斜线，又称为主对角线，简称为对角线，5 阶幻方共有2 条对角线；

称左2～左5 斜线、右2～右5 斜线为副斜线，又称为副对角线，5 阶幻方共有8 条副斜线。

▼（示例）5 阶方阵

▽ （定义）5 阶数字方阵的行和、列和、斜和

某行全部5 个数之和，称为该行的行和；某列全部5 个数之和，称为该列的列和。

某对角线全部5 个数之和，称为该对角线的对角线和。

某斜线全部5 个数之和，称为该斜线的斜和。

▼（定义）5 阶幻方

1～25 这25 个自然数，如果符合条件：

① 构成1 个5 阶数字方阵；

② 全部5 个行和、5 个列和、2 个对角线和都相等，等于65；

那么称这个5 阶数字方阵为5 阶幻方，称和数65 为幻和。

▽ （定义）［对称］5 阶幻方

1 个5 阶幻方，1 个数为中心数，其余24 个数，每2 个数为1 组，如果符合条件：

① 幻方中心格内的数为13；② 任意1 组的2 个数都与中心格共线，与中心格异侧等距，且和数等于26；那么称这2 个数对称，称这个幻方为［对称］5 阶幻方，称和数26 为对称和。

▽（定义）［完美］5 阶幻方

1 个5 阶幻方，如果全部8 条副对角线的和都相等，等于幻和65，则称之为［完美］5 阶幻方。

▼（定义）【对称· 完美· 5 阶幻方】

1 个5 阶幻方，如果既［对称］又［完美］，则称之为【对称 · 完美 · 5 阶幻方】。

▽ （示例）【对称· 完美· 5 阶幻方】

▼（定义）阵图与阵图同元，阵图与阵图同构

已知阵图M、N，如果M 与N 的构成元素相同，那么称M 与N 同元，记为M\N；

已知阵图P、Q，如果P 与Q 同元，且元素间的结合方式相同，那么称P 与Q 同构，记为P ≌Q。

▽（定义）1 个5 阶幻方的8 个同构形态

① 若1 个5 阶幻方，以方阵的中心格为中心，在平面上顺时针旋转90 度，或90 度的整倍数，则

称这个5 阶幻方做了1 个平面旋转的变换；

② 若1 个5 阶幻方，以方阵的中央列为轴，在空间翻转180 度，则

称这个5 阶幻方做了1 个空间翻转的变换；

③ 在做了有限多次的平面旋转和空间翻转后，5 阶幻方的数与数之间的结合方式不会改变；

④ 称1 个幻方变换前的形态与变换后的形态为两个同构形态；

⑤ 1 个5 阶幻方，可生成7 个同构形态，连同初始形态，1 个幻方共有8 个同构形态；

⑥ 本质上，两个同构的幻方，其实不过是某个幻方全部8 个同构形态中的2 个同构形态而已；

⑦ 对于1 个幻方，我们只研究其8 个同构形态中的1 个形态。

▼（示例）1 个5 阶幻方的8 个同构形态

▼（定义）马步形态之长方步（右1 上2）

① 在5 阶方阵的当前格填写1 个数；

② 以当前格为出发格，向右迈1 格、再向上迈2 格，进入到达格；(www.chuimin.cn)

③ 在5 阶方阵的到达格填写下一个数；

称这样的选格填数方式为“长方步”，简记为（右1 上2）。

▽（定义）马步形态之转向步（m，n）

① 在5 阶方阵的当前格填写1 个数；

② 以当前格为出发格，横向移m 格，再纵向移n 格，进入到达格（-2 ≤m、n ≤2）；

③ 在5 阶幻方的到达格填写下一个数；

称这样的选格填数方式为“转向步”，简记为（m，n）。

▽（专注）马步形态之转向步（m，n）

若m<0，则横向左移；若m=0，则停留在原列；若m>0，则横向右移（-2 ≤m ≤2）。

若n<0，则纵向下移；若n=0，则停留在原行；若n>0，则纵向上移（-2 ≤n ≤2）。

例如，转向步（-2，-2），表示横向左移2 格，再纵向下移2 格；

例如，转向步（-1，　1），表示横向左移1 格，再纵向上移1 格；

例如，转向步（　0，-1），表示横向不动，纵向下移1 格；

例如，转向步（　2，　0），表示横向右移2 格，纵向不动。

▼（定义）马步形态

1 个长方步与1 个转向步，二者拼合，称拼合后的整体为1 个马步形态。

▽（记法）马步形态

例如，长方步（右1 上2）、转向步（-1，　1），二者拼合成马步形态，记为（右1 上2）*（-1，　1）；

例如，长方步（右1 上2）、转向步（　0，-1），二者拼合成马步形态，记为（右1 上2）*（　0，-1）。

▽（专注）马步形态

① 长方步只有1 个样式，即（右1 上2）；

② 转向步共有4 个样式，即（　0，-1）、（-2，-2）、（　2，　0）、（-1，　1）；

③ 马步形态用于『构建』【对称· 完美· 马步· 5 阶幻方】时的选格填数过程。

▼ （示例）马步形态（界内型）

▽（示例）马步形态（跨界型）

▼（示例）马步形态相关记法综合

① 格的坐标，例如：

格（2，1），表示格的坐标是第2 行、第1 列。

② 马步形态之长方步，即

（长方步）右1 上2，表示由当前格出发，向右迈1 格，再向上迈2 格，进入到达格。

③ 马步形态之转向步，例如：

转向步（-1，1），表示由当前格出发，横向左移1 格，再纵向上移1 格，进入到达格；

转向步（ 2，0），表示由当前格出发，横向右移2 格，纵向不动，进入到达格。

④ 马步形态，例如：

马步形态（右1 上2）*（-1，1），表示长方步（右1 上2）、转向步（-1，1）；

马步形态（右1 上2）*（　2，0），表示长方步（右1 上2）、转向步（　2，0）。

▼（定义）士步形态之正方步（右1 上1）

① 在5 阶方阵的当前格填写1 个数；

② 以当前格为出发格，向右迈1 格、再向上迈1 格，进入到达格；

③ 在5 阶方阵的到达格填写下一个数；

称这样的选格填数方式为“正方步”，简记为（右1 上1）。

▽（定义）士步形态之转向步（m，n）

① 在5 阶方阵的当前格填写1 个数；

② 以当前格为出发格，横向移m 格，纵向移n 格，进入到达格（-2 ≤m、n ≤2）；

③ 在5 阶方阵的到达格填写下一个数；

称这样的选格填数方式为“转向步”，简记为（m，n）。

▽（专注）士步形态之转向步（m，n）

若m<0，则横向左移；若m=0，则停留在原列；若m>0，则横向右移（-2 ≤m ≤2）。

若n<0，则纵向下移；若n=0，则停留在原行；若n>0，则纵向上移（-2 ≤n ≤2）。

例如，转向步（-2，　2），表示横向左移2 格，再纵向上移2 格；

例如，转向步（　2，-1），表示横向右移2 格，再纵向下移1 格；

例如，转向步（　0，-1），表示横向不动，纵向下移1 格；

例如，转向步（-2，　0），表示横向左移2 格，纵向不动。

▼（定义）士步形态

1 个正方步与1 个转向步，二者拼合，称拼合后的整体为1 个士步形态。

▽（记法）士步形态

例如，正方步（右1 上1）、转向步（-2，　2），二者拼合成士步形态，记为（右1 上1）*（-2，　2）；

例如，正方步（右1 上1）、转向步（　0，-1），二者拼合成士步形态，记为（右1 上1）*（　0，-1）。

▽（专注）士步形态

① 正方步只有1 个样式，即（右1 上1）；

② 转向步共有6 个样式，即（0，-1）、（-1，-2）、（-2，2）、（-2，0）、（0，2）、（2，-1）；

③ 士步形态用于『构建』【对称· 不完美· 士步· 5 阶幻方】时的选格填数过程。

▼ （示例）士步形态（界内型）

▽（示例）士步形态（跨界型）

▼（示例）士步形态相关记法综合

① 格的坐标，例如：

例如，格（2，1），表示格的坐标是第2 行、第1 列。

② 士步形态的正方步，即

正方步（右1 上1），表示由当前格出发，向右迈1 格，再向上迈1 格，进入到达格。

③ 士步形态的转向步，例如：

转向步（　2，-1），表示由当前格出发，横向右移2 格，再纵向下移1 格，进入到达格；

转向步（-2，　0），表示由当前格出发，横向左移2 格，纵向不动，进入到达格。

④ 士步形态，例如：

士步形态（右1 上1）*（　2，-1），表示正方步（右1 上1）、转向步（　2，-1）；

士步形态（右1 上1）*（-2，　0），表示正方步（右1 上1）、转向步（-2，　0）。

▼（定义）斜步

马步形态和士步形态，统称为斜步形态。

▼（定义）［幂3］

［幂3］，幻方两对角线的k 次幂和相等（k=1、2、3）。

▼（定义）【5 阶幻方】的级别

▽（示例）【5 阶幻方】的级别

美丽幻方的构建与典藏（5阶、7阶、9阶）

相关推荐