证明种类：演绎与归纳，类比不算

2023-11-08 理论教育版权反馈

【摘要】：这就是理性认识证明的一种过程。我们按证明所用的推理形式而划分证明为演绎式的和归纳式的，而未把类比这一种推理形式列入作为一种其原因及是类比的结论是盖然性的，而证明必须是必然性的。上面所举证明的例子都属于这一类。一般说来，间接证明是拿论题的矛盾判断，证明其错误，因而证明本论题是真实的。很明显，这是应用排中律的一种证明方式。这种证明通常称为反证。

1.首先必须指出，证明有感性认识的而又有理性认识的。当知证明是否在弄清楚某一判断的根据。如果我们说这房间里摆着一些椅子，而有人怀疑，把房间打开一瞧，看见椅子便证明了我们所说的是真实无妄的。这是感性认识证明的一例。

所谓理性认识证明乃是通过推理的，例如上面所举的“人民教师是光荣的”这例子，如果有人怀疑这判断的真实性，而我们不能在客观现实指出某一定的对象或现象是和这判断相符合而直接证明它的真实性，我们就举出业已证明的某一些判断，而以这些判断为前提，按照前提的性质通过某一种推理的形式而得出的结论恰恰就是我们要证明的论题。这就是理性认识证明的一种过程。

这样看来，理性认识证明是通过推理的过程，从形式上讲，其论题相当于推理的结论，而其论据则相当于推理的前提，论证相当于从前提到结论的整个过程。

可是必须指出，理性认识证明是推理的形式，但不限于某一种推理的形式，而且在一个证明中可结合着几种不同的推理形式的，从各个方面进行其证明的。

这只是从形式上看的。从本质上来讲，推理是先成立了前提，经过一定的方式从前提推出未知的结论，其目的是这结论的得出。但证明的目的则不同，它是先提出论题，其目的是确定这论题的真实性，所用的方式是按照能使用的论据和所提出的论题的性质，而论据是有待于寻找的。其实证明的关键是在于善于寻找论据，而所要寻得的论据又必须按照论题的性质，例如，论题如果是某一具体事实，则其所需要用来证明这一个单称判断的论据必不同于用来证明一个原理性质的全称判断。论题的性质不明，则论据的寻找是无从着手；论题的性质确定，然后才可按图索骥，这是证明中最重要之一点。

2.根据上段所说，证明使用推理的形式时，可按其推理的形式划分为（1）演绎式的证明和（2）归纳式的证明。

所谓演绎式的证明不限于三段论式这一种演绎推理形式，例如在几何学中，每每是使用其他的演绎推理形式的，如证明等腰三角形的底线两角相等就是一个实例，所用的方法是从上面已经证明的命题而推出当前需要证明的论题，但不是使用三段论式。

一般说来，演绎式的证明是用已知的确实而普遍的真理为根据而证明当前论题的真实的。那就是说，这种证明是以一般性原理为论据，从而推出论题作为其结论的，是把论题从属于一种一般性的原理作为它的一种特殊事例的。

例如论题是：右派分子宽大处理是党的政策。我们要证明这论题，就把它归之于一条一般性的原理作为它的一种特殊事例，而我们知道党是要把一切可以改造的消极因素，为着六亿人民的利益改变为积极因素的，这是一条一般性的原理，尽人皆知，不容置疑的。我们把右派分子的宽大处理政策理解为为着六亿人民的利益，把消极因素改造成为积极因素这一般性原理的一种特殊事例，论题就证明了。这是演绎式的证明，从一般到特殊的证明方式。

演绎式证明所依据的原则，从一般到特殊，正合演绎推理的原则，所以演绎式证明不管是三段论式的形式或其他演绎推理的形式，必须按照其适合这样推理形式的各种规律和规则。

归纳式的证明是根据某一些个别或特殊的事例找出其中的必然性联系以证明当前的论题的。

例如论题是：社会主义的工业化必须在党的领导之下依靠群众，发动群众，提高群众才能胜利完成的。

我们的论据是：中国的新民主主义革命是在党的领导下，依靠群众，发动群众，提高群众才胜利完成的；解放后经济的恢复是在党的领导之下，依靠群众，发动群众，提高群众而胜利完成的；土地改革运动亦如是，其他的改革运动，亦莫不如是，依照归纳推理的原则，我们在这一系列的胜利中分析出来他们之所以胜利的原因是党的领导。结合着发动起来，觉悟起来的群众力量，这是战无不胜、攻无不克的力量，因之就得出结论说，无论什么大小社会主义事件，必须有党的领导，路线才能保证是正确的，必须有发动起来的群众，其力量才是伟大的。可见，我们社会主义工业化这重大事件必须有党的领导和群众的力量。

上面的例子是以特殊事物，如新民主主义革命、土地改革，等等，通过归纳推理而得出所有社会主义事业的一个结论，再把这结论作为前提而用演绎推理证明当前的论题。其主要的是前一段。这一段是归纳式的证明，由特殊到一般的。(www.chuimin.cn)

正如归纳推理一样，归纳式的证明，其论据不在于所提出作为根据的特殊事件的数目多少，而是在于他们的典型性，在于从他所分析出来的必然性联系。

我们按证明所用的推理形式而划分证明为演绎式的和归纳式的，而未把类比这一种推理形式列入作为一种其原因及是类比的结论是盖然性的，而证明必须是必然性的。

3.证明又可依其方式再划分为（1）直接证明和（2）间接证明。

（1）直接证明：凡论据能够直接证明论题的真实的，不管是用什么方法，都叫做直接证明。上面所举证明的例子都属于这一类。

（2）间接证明：凡是不能用所掌握的论据直接证明其论题的真实的叫做间接证明。一般说来，间接证明是拿论题的矛盾判断，证明其错误，因而证明本论题是真实的。很明显，这是应用排中律的一种证明方式。两个矛盾的判断，其中之一必是假而其另一必是真的，如果能够证明论题的矛盾判断是假，则本论题必定是真的。使用这办法时，最要紧的是我们证明为错误的必须是论题的矛盾判断，否则无从因之而证明论题必是真的。

论题的矛盾判断又称为反论题。

例如如果论题的形式是SaP，其这论题便是SoP，而不是SeP。因为按逻辑正方形上面的判断间关系，SoP才是和SaP矛盾的，而SeP只是和SaP相对立。SoP是假，则SaP必须真，但是如果证明SeP 是假，并不能因而知道SaP是真，因为上对立之一是假，其他一个判断是未定，可真亦不假的，SeP 虽已证明是假，但实际上只是SiP 是真的而不是SaP 是真的。两个对立的判断之间有第三者之可能的，从不能由其一个之假而知道其另一个之真，唯有两个矛盾判断，才可由一个之假而确知其另一个之真的，所以在使用这种间接证明的方法时，必须是证明其矛盾判断之假。

这种证明通常称为反证。反证之一种方式是归谬法^[4]但不应称任何反证为归谬法，归谬法常用于几何学的，例如，欧几里几何原理第一卷第六题便是用归谬法来证明的。第六题为：如三角形两个角相等，则其对边亦相等。假设：三角形ABC 的ABC 角等于ACB 角，则AB边必等于AC边。

证明：如果AB不等于AC，则其中之一必大于其他之一。兹假定AB大于AC，而从AB割出一线段BD 等于AC。连结DC，结果便有DBC、ACB两个三角形，而DB等于AC，BC是两个三角形共同的一边，而DBC角又等于ACB角，则三角形DBC 的面积等于三角形ACB 的面积（根据第一卷第四题所证），那么，一部分的面积等于全部的面积按公理9是荒谬的。所以，AB不是不等于AC，那就说，AB等于AC。

又以三段论式来说明归谬法的使用：

假设两前提是MoP，MaS，则其结论必是SoP。

如果对方不肯接受这结论，我则假定结论是SaP，即原来得出的结论之矛盾命题，而拿原来对方已经同意为正确的一个前提MaS，与这假定的结论相结合，构成一个三段论式，则其结论是MaP。这里新的三段论式是以S为其中词，M 为小词，P 为大词的。但是这里得出的结论MaP是和原来的大前提MoP 相矛盾的，而原来的大前提是两方同意为正确的，所以MaP必是错误的。三段论式的结论错误，而推理过程和其前提之一，即MaS，既是被认为正确的，其错误必定在于假定的另一前提，即SaP，所以不能承认SaP 是对的，而必须承认其矛盾命题，即原得出的结论是正确的。其荒谬是归之于不接受原来得出的结论，即SoP。

上面的论证过程可用符号表达如下：不如我所确知A 是B，而有人同意这判断。但不承认从这判断必然推出的推断C是D。如果这推断确是从A 是B而推出，则承认理由而不承认其合法的推断，便是不承认原来已经承认的判断，这也是荒谬的。这是归谬法之用于假言推理。归谬法是可以使用在任何推理的形式的。

证明种类：演绎与归纳，类比不算

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