微流控芯片技术与数值解法

2023-11-03 理论教育版权反馈

【摘要】：偏微分方程的解法主要分为两大类，即解析解法和数值解法。其中，有限差分法、有限体积法和有限元法是三种发展成熟并广泛应用的偏微分方程(组)数值解法。所求出的差分方程组的解，就是微分方程定解问题的数值近似解。因此，在某种程度上LBM也可以被视为一种求解偏微分方程的方法。

偏微分方程的解法主要分为两大类，即解析解法和数值解法。

1.解析解法

解析解法所得的偏微分方程解是严格意义上的解，解的结果体现为函数表达式。例如，分离变量法常借助于常微分方程的方法求解，其解的结果可由一个确定的数学表达式描述。然而，解析解法对区域限制比较苛刻，仅适用于如圆形、矩形、柱面、球面域等具有对称性的规则计算域，对于绝大多数不规则区域问题，很难得到确定的解析解。

2.数值解法

数值解法的求解结果通常体现为问题区域内离散点的解分布，通过插值法来获得问题区域的整体解。数值解法求解的一般思路是将难以处理的非线性问题转化为求解线性方程组。在转化过程中，会对解的精度产生影响，因此数值解法主要获得的是近似解。其中，有限差分法(Finite Difference Method，FDM)、有限体积法(Finite Volume Method，FVM)和有限元法(Finite Element Method，FEM)是三种发展成熟并广泛应用的偏微分方程(组)数值解法。

FDM是应用最早、最经典的数值求解方法。它将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，然后将偏微分方程的导数用差商代替，推导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组。所求出的差分方程组的解，就是微分方程定解问题的数值近似解。FDM是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，这种方法发展较早且比较成熟。(www.chuimin.cn)

FVM是将计算区域划分为一系列控制体积，将待解微分方程对每个控制体积积分得出离散方程。FVM的关键是在导出离散方程的过程中，需要对界面上的被求函数本身及其导数的分布作出某种形式的假定。用FVM导出的离散方程可以保证具有守恒特性，而且离散方程系数物理意义明确，计算量相对较小。1980年，S.V.Patanker在其专著Numerical Heat Transfer and Fluid Flow中对FVM作了全面阐述。此后，FVM得到广泛应用，应用此方法的代表性软件为FLUENT。

FEM是20世纪80年代开始应用的一种数值解法，它吸收了FDM中离散处理的内核，又采用了变分计算中选择逼近函数对区域进行积分的方法。FEM的求解速度较FDM和FVM慢，因此在计算工具不发达的时期应用得不太广泛。但随着计算机硬件性能的飞速提升，FEM应用也得到迅速推广，当前已经是十分流行的数值解法。应用此方法的代表性软件为ANSYS、COMSOL Multiphysics等。

此外，还有一些近期发展的偏微分方程数值解法，如谱方法、无网格化方法(光滑粒子动力学方法)，以及后续将介绍的格子Boltzmann方法(Lattice Boltzmann Method，LBM)也已受到学界关注。其中，LBM是通过演绎来获得流动规律，但结果与直接求解Navier-Stokes方程获得的结果一致。因此，在某种程度上LBM也可以被视为一种求解偏微分方程的方法。

虽然FDM、FVM、FEM在求解偏微分方程的机理上有所区别，但其也有很多共性。例如，都是基于网格化的方法；都是在时间和空间上对控制方程进行离散的方法；都是将偏微分方程转化为线性方程组并求解的方法。FDM发展最早，相对于FVM、FEM更简单和易于理解。因此，在介绍FEM之前，接下来先介绍FDM求解偏微分方程的原理。

微流控芯片技术与数值解法

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