树与二叉树：计算机基础和Office高级应用第2版成果

2023-11-03 理论教育版权反馈

【摘要】：2.二叉树及其基本性质1）二叉树的定义二叉树是一种很有用的非线性结构，它具有以下两个特点：非空二叉树只有一个根结点。完全二叉树具有以下两个性质。

1.树的基本概念

树是一种简单的非线性结构。在树结构中，每一个结点只有一个前件，称为父结点，没有前件的结点只有一个，称为树的根结点。每一个结点可以有多个后件，它们称为该结点的子结点。没有后件的结点称为叶子结点。

在树结构中，一个结点所拥有的后件个数称为该结点的度。叶子结点的度为0。在树中，所有结点中的最大的度称为树的度。

2.二叉树及其基本性质

1）二叉树的定义

二叉树是一种很有用的非线性结构，它具有以下两个特点：

（1）非空二叉树只有一个根结点。

（2）每一个结点最多有两棵子树，且分别称为该结点的左子树和右子树。

由以上特点可以看出，在二叉树中，每一个结点的度最大为2，即所有子树（左子树或右子树）也均为二叉树，而树结构中的每一个结点的度可以是任意的。另外，二叉树中的每个结点的子树被明显地分为左子树和右子树。在二叉树中，一个结点可以只有左子树而没有右子树，也可以只有右子树而没有左子树。当一个结点既没有左子树也没有右子树时，该结点即为叶子结点。

2）二叉树的基本性质

二叉树具有以下几个性质。

性质1：在二叉树的第k层上，最多有2k-1（k≥1）个结点。

性质2：深度为m的二叉树最多有2m-1个结点。

性质3：在任意一棵二叉树中，度为0的结点（即叶子结点）总是比度为2的结点多一个。

性质4：具有n个结点的二叉树，其深度至少为［log2n］ +1，其中［log2n］表示取log2n的整数部分。

小技巧：在二叉树的遍历中，无论是前序遍历、中序遍历还是后序遍历，二叉树的叶子结点的先后顺序都是不变的。

3.满二叉树与完全二叉树(www.chuimin.cn)

满二叉树是指这样的一种二叉树：除最后一层外，每一层上的所有结点都有两个子结点。在满二叉树中，每一层上的结点数都达到最大值，即在满二叉树的第k层上有2k-1个结点，且深度为m的满二叉树有2m-1个结点。完全二叉树是指这样的二叉树：除最后一层外，每一层上的结点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边的若干结点。对于完全二叉树来说，叶子结点只可能在层次最大的两层上出现：对于任何一个结点，若其右分支下的子孙结点的最大层次为p，则其左分支下的子孙结点的最大层次或为p，或为p+1。

完全二叉树具有以下两个性质。

性质1：具有n个结点的完全二叉树的深度为［log2n］ +1。

性质2：设完全二叉树共有n个结点。如果从根结点开始，按层次（每一层从左到右）用自然数1，2，……，n给结点进行编号，则对于编号为k（k=1，2，……，n）的结点有以下结论。

（1）若k=1，则该结点为根结点，它没有父结点；若k＞1，则该结点的父结点编号为INT（k/2）。

（2）若2k≤n，则编号为k的结点的左子结点编号为2k；否则该结点无左子结点（显然也没有右子结点）。

（3）若2k+1≤n，则编号为k的结点的右子结点编号为2k+1；否则该结点无右子结点。

4.二叉树的遍历

在遍历二叉树的过程中，一般先遍历左子树，再遍历右子树。在先左后右的原则下，根据访问根结点的次序，二叉树的遍历分为3类：前序遍历、中序遍历和后序遍历。

（1）前序遍历：先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树；并且，在遍历左、右子树时，仍然先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。

（2）中序遍历：先遍历左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树；并且，在遍历左、右子树时，仍然先遍历左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树。

（3）后序遍历：先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根结点；并且，在遍历左、右子树时，仍然先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根结点。

疑难解答：树与二叉树的不同之处是什么？