大学物理实验：测量结果的表示

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：显然，把各直接测量结果的最佳值代入函数式就可得到间接测量结果的最佳值。结果表示为所有运算结果的有效数字位数均应由不确定度来决定，就是简单的四则混合运算也应遵循这一原则。

1.单次直接测量结果不确定度的估算（表示）

在实际测量中，有时测量不能或不需要重复多次；或者仪器精度不高，测量条件比较稳定，多次测量同一物理量结果相近。例如，用准确度等级为2.5级的万用表去测量某一电流，经多次重复测量，几乎都得到相同的结果。这是由于仪器的精度较低，一些偶然的未控因素引起的误差很小，仪器不能反映出这种微小的起伏。因而，在这种情况下，只需要进行单次测量。

如何确定单次测量结果的不确定度呢？显然无法求出单次测量量的A类不确定度分量ΔA。尽管ΔA 依然存在，但在单次测量的情况下，往往是Δ仪要比ΔA 大得多。按照微小误差原则，即只要ΔA＜ΔB/3 （或Sx＜Δ仪/3），在计算Δ时就可以忽略ΔA 对总不确定度的影响。所以，对单次测量，Δ可简单地用仪器误差Δ仪来表示，即

单次测量结果=测量值±Δ仪（单位）

测量值应估读到仪器最小刻度的1/10 （或1/5、1/2）。

测量是用仪器或量具进行的，有的仪器比较粗糙或灵敏度较低，有的仪器比较精确或灵敏度较高，但任何仪器，由于技术上的局限性，总存在误差。仪器误差就是指在正确使用仪器的条件下，测量所得结果和被测量的真值之间可能产生的最大误差。

仪器误差通常是由制造工厂和计量机构使用更精确的仪器、量具，通过检定比较后给出的。在仪器和量具的使用手册或仪器面板上，一般都能查到仪器允许的基本误差。因此，使用仪器或量具之前熟悉这种资料是重要的。

例如，实验室常用的量程在100mm以内的一级千分尺，其副尺上的最小分度值为0.01mm （精度），而它的仪器误差（常称为示值误差）为0.004mm。测量范围在300mm以内的游标卡尺，其分度值便是仪器的示值误差。例如，主副尺最小分度值之差为1/50mm的游标卡尺，其精度和示值误差均为0.02mm。有的测量器具并不直接给出仪器误差，而是以“准确度等级”来估计的。级值越小，则准确度越高。

一般的测量仪器上都有指示不同量值的刻线标记（刻度）。相邻两刻线所代表的量值之差称为分度值。其最小分度标志着仪器的分辨能力。在仪器设计时，分度和表盘的设计总是与仪器的准确度相适应的。一般来说，仪器的准确度越高，刻度越细密。但也有仪器的最小分度超过其准确度的。如一般水银温度计最小分度值为0.1℃，但其示值误差为0.2℃。如果手头缺乏有关仪器的技术资料，没有标明仪器的准确度，这时用仪器的最小分度值估算仪器误差是简单可行的方法。

许多计量仪器、量具的误差产生原因及具体误差分量的计算分析大多超出了本课程的要求范围。为初学者方便，仅从以下三方面来考虑仪器误差Δ仪：

（1）仪器说明书上给出的仪器误差值，如游标卡尺、螺旋测微计的示值误差等。

（2）仪器（电表）的精度等级按量程决定值。

（3）最小分度值或最小分度值的一半。

如果能同时得到这三者，一般在三者中取最大值。

2.多次测量结果的不确定度估算（表示）

由于测量中存在随机误差，为了能获得测量最佳值，并对结果做出正确评价，就需要对待测量进行多次重复测量。虽然测量次数增加时能减少随机误差对测量结果的影响，但在基础物理实验中，考虑到测量仪器的准确度和测量方法、环境等因素的影响，对同一量作多次直接测量时，一般把测量次数定在5～10次较为妥当。

多次重复测量结果的最佳估计值和不确定度的计算公式如下：

3.间接测量结果的不确定度估算

（1）间接测量量不确定度传递公式。间接测量值是通过一定函数式由直接测量值计算得到。显然，把各直接测量结果的最佳值代入函数式就可得到间接测量结果的最佳值。因此直接测量结果的不确定度就必然影响到间接测量结果，这种影响的大小也可以由相应的函数式计算出来，这就是不确定度的传递。

首先讨论间接测量量的函数式（或称测量式）为单元函数（即由一个直接测量量计算得到间接测量量）的情况

式中 N——间接测量量；(https://www.chuimin.cn)

x——直接测量量。

可得到间接测量量N 的不确定度ΔN 为

但是，大多数间接测量量所用的测量式是多元函数式，即由多个直接测量量计算得到一个间接测量结果。所以更一般的情况是间接待测量为

式中 x，y，z，…——相互独立的直接测量量。

x、y、z、…的不确定度Δx、Δy、Δz、…是如何影响间接测量量N 的不确定度ΔN 的呢？仿照多元函数求全微分的方法，单考虑x的不确定度Δx 对ΔN 的影响时，有

单考虑y的不确定度Δy 对ΔN 影响时，有

同理可得

把它们合成时，不能像求全微分那样进行简单地相加。因为不确定度不简单地等同于数学上的“增量”。在合成时要考虑到不确定度的统计性质，所以采用方和根合成，于是得到间接测量结果合成不确定度的传递公式如下：

如果测量式是积商形式的函数，在计算合成不确定度时，往往两边先取自然对数，然后合成要方便得多，且得到相对不确定度传递公式为

例如，铜棒电阻率为

最后将结果表示为标准形式。

（2）间接测量结果的表示。

请同学们课后自己推导常用函数的不确定度差传递公式。

【例2】用单摆测定重力加速度的公式为g=4π2l/T2，今测得T=2.000±0.002s，l=100.0±0.1cm，试计算重力加速度g及不确定度与相对不确定度Eg。

结果表示为

所有运算结果的有效数字位数均应由不确定度来决定，就是简单的四则混合运算也应遵循这一原则。如 [例1]，应先求出Δl=0.03cm （可疑位保留一位），然后再确定l的有效数字位数（小数后第二位可疑，因此，结果保留三位有效数字）；同样，如 [例2]，先确定Δg=2.2cm/s2，因此，结果保留三位有效数字（尾数对齐）。

4.实验结果的评估

（2）精密度：测量误差分布密集或疏散的程度，即各次测量值重复性优劣的程度，一般表示随机误差的大小。

（3）准确度：测量结果所达到的准确程度，即测量结果最佳值与真值之间相符合的程度，一般表示系统误差的大小。

（4）精确度：随机误差和系统误差综合的结果。

大学物理实验：测量结果的表示

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