大学物理实验：随机误差及其影响

2023-11-02 理论教育版权反馈

【摘要】：随机误差是指在同一被测量量的多次测量过程中，测量误差的绝对值与符号以不可预知（随机）的方式变化并具有抵偿性的测量误差分量。随机误差是实验中各种因素的微小变动性引起的。但对某一量进行足够多次的测量，则会发现其随机误差服从一定的统计规律。值得指出的是，在多次测量时，正负随机误差常可以大致相消，因而用多次测量的算术平均值表示测量结果可以减小随机误差的影响。

随机误差（习惯上又常称为偶然误差）是指在同一被测量量的多次测量过程中，测量误差的绝对值与符号以不可预知（随机）的方式变化并具有抵偿性的测量误差分量。

随机误差是实验中各种因素的微小变动性引起的。例如，实验周围环境或操作条件的微小波动、测量对象的自身涨落、测量仪器指示数值的变动性以及观测者本人在判断和估计读数上的变动性等。这些因素的共同影响就使测量值围绕着测量的平均值发生有涨落的变化，这变化量就是各次测量的随机误差。可见，随机误差的来源是非常复杂而且是难以确定的。因而不能像处理系统误差那样去查出产生随机误差的原因，然后通过一定的方法予以修正或消除。正像处理大量分子做无规则运动时难以确定每个分子的具体运动规律，但大量的分子运动却表现出统计规律来一样，我们发现，就某一测量值的随机误差来说是没有规律的，其大小和方向都是不可能预知的。但对某一量进行足够多次的测量，则会发现其随机误差服从一定的统计规律。误差的分布如图0-1所示。图0-1中，横坐标表示误差Δx=x-X，纵坐标表示为一个与误差出现的概率有关的概率密度函数f（Δx），应用概率论的数学方法可推导出随机误差出现概率的分布函数。这个函数首先由德国数学家和理论物理学家高斯于1795年导出，因而称为高斯误差分布函数，也称正态分布函数

pagenumber_ebook=12,pagenumber_book=7

图0-1　随机误差分布特点

pagenumber_ebook=12,pagenumber_book=7

式中 σ——特征量，称为标准误差；

n——测量次数。

σ物理意义如何呢？首先要弄清σ与各测量值的误差Δi 具有完全不同的含义。Δi 表示测量值与真值的差，是一个实在的误差，也称真误差；而σ并不是一个具体的测量误差值，它反映在相同条件下进行一组测量后的随机误差出现概率的分布情况，只具有统计性质的意义，是一个统计性的特征量。

σ表示的概率意义可以从f（Δx）函数式求出。由概率论可知，随机误差落在（Δx，Δx+dx）区间内的概率为f（Δx）dΔx，所以误差出现在（-σ，+σ）区间内的概率P就是图0-1中该区间内f（Δx）曲线下的面积

因此，σ所表示的意义就是：做任何一次测量，测量误差落在-σ～+σ之间的概率为68.3%。σ并不是一个具体的测量误差值，它提供了一个用概率来表达测量误差的方法。

[-σ，+σ]称为置信区间，其相应的概率P（σ）=68.3%称为置信概率。显然，置信区间扩大，则置信概率提高。置信区间取 [-2σ，+2σ]、 [-3σ，+3σ]，相应的置信概率P（2σ）=95.4%，P（3σ）=99.7%。

服从正态分布的随机误差具有以下几个特征：

（1）单峰性：测量值与真值相差越小，这种测量值（或误差）出现的概率（可能性）越大，与真值相差大的，则概率越小。

（2）对称性：绝对值相等、符号相反的正、负误差出现的概率相等。

（3）有界性：绝对值很大的误差出现的概率趋近于零。也即是说，总可以找到这样一个误差限，某次测量的误差超过此限值的概率小到可以忽略不计的地步。

（4）抵偿性：随机误差的算术平均值随测量次数的增加而越来越趋向于零，即(www.chuimin.cn)

pagenumber_ebook=13,pagenumber_book=8

对测量中的随机误差如何处理呢？可以利用正态分布理论的一些结论来进行处理。

现设在测量条件相同的情况下，对某一物理量进行n次无明显系统误差的独立测量，测得n个测量值为

往往称此为一个测量列。在测量不可避免地存在随机误差的情况下，处理这一测量列时必须要回答下列两个问题：①由于每次测量值各有差异，何种测量值是最接近于真值的最佳值；②测量值的差异性即测量值的分散程度直接体现随机误差的大小，测量值越分散，测量的随机误差就越大，如何对测量的随机误差做出估算才能表示出测量的精密度。

在数理统计中，对此已有充分的研究，下面只引用它们的结论。

结论一：当系统误差已被消除时，测量值的算术平均值最接近被测量的真值，测量次数越多，接近程度越好 (当n→∞时，平均值趋近于真值)，因此，我们用算术平均值表示测量结果的最佳值。

算术平均值的计算式是

pagenumber_ebook=13,pagenumber_book=8