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FEKO仿真:快速多极子原理与实现

2023-10-31 理论教育版权反馈

【摘要】：多层快速多极子方法采用多层分区计算，即对于附近区强耦合量直接计算；对于非附近区耦合量则用多层快速多极子方法实现。多层快速多极子方法基于树形结构计算，其特点是逐层聚合、逐层转移、逐层配置、嵌套递推。图2-11所示为二维多层快速多极子方法中，在第二层的多极转移示意图。在多极配置过程中，已经考虑了父层父组的所有非附近组的贡献，尚未考虑的是该子层子组的远亲组贡献。

快速多极子方法（FMM）的数学基础是矢量加法定理，即利用加法定理对积分方程中的格林函数在角谱空间中展开，利用平面波进行算子对角化，最终将密集阵与矢量的相乘计算转化为几个稀疏阵与该矢量的相乘计算，如图2-5所示。

图2-5 分解密集矩阵为A_near（邻近组）与A_far（非邻近组）

该方法的原理是将散射体表面上离散得到的子散射体分组。任意两个子散射体间的互耦根据它们所在组的位置关系而采用不同的方法计算。当它们是邻近组时，采用直接数值计算。而当它们为非邻近组时，则采用聚合-转移-配置方法计算，如图2-6所示。对于一个给定的场点组，首先将它的各个非邻近组内所有子散射体产生的贡献“聚合”到各自的组中心表达；再将这些组的贡献由这些组的组中心“转移”至给定场点组的组中心表达；最后将得到的所有非邻近组的贡献由该组中心“配置”到该组内各子散射体。对于散射体表面上的N个子散射体，直接计算它们的互耦时，每个子散射体都是一个散射中心即为一个单极子，共需数值计算量为O(N²)，如图2-7所示，而应用快速多极子方法，任意两个子散射体的互耦由它们所在组的组中心联系。各个组中心就是一个多极子，其数值计算量只为O(N^1.5)。对于源点组来说，该组中心代表了组内所有子散射体在其非邻近组产生的贡献；对场点组来说，该组中心代表了来自该组的所有非邻近组的贡献，从而大大减少了散射中心的数目。单层FMM算法N个未知量之间的耦合如图2-8所示，两层FMM算法N个未知量之间的耦合如图2-9所示。

图2-6 A_far矩阵通过聚合（Aggregation）、转移（Translation）、配置（Disaggregation）实现矩阵矢量相乘

图2-7 传统矩量法N个未知量之间的耦合

图2-8 单层FMM算法N个未知量之间的耦合

多层快速多极子方法（MLFMM）是快速多极子方法在多层级结构中的推广。多层快速多极子方法采用多层分区计算，即对于附近区强耦合量直接计算；对于非附近区耦合量则用多层快速多极子方法实现。多层快速多极子方法基于树形结构计算，其特点是逐层聚合、逐层转移、逐层配置、嵌套递推。

图2-9 两层FMM算法N个未知量之间的耦合

下面详细介绍MLFMM求解三维导电目标电磁散射的步骤。

对于给定场子散射体j，所有源子散射体i对它的贡献用快速多极子方法表达为

式中，a_i为第i个源子散射体的电流幅度；V_fmj、α_mm′、V_sm′i分别表示配置、转移、聚合因子。MLFMM求解上式的具体步骤如下：

（1）最高层的多极展开计算公式

式中，m′为最高层中子散射体i所在组的组中心；、分别为最高层m′组的聚合量和聚合因子。

（2）多极聚合

将源子散射体在子层子组中心的聚合量平移到父层父组中心，如图2-10所示。在波动问题中，由于多极子模式数只取决于源区尺寸（L～kd，d为所在层的正方形或正方体的边长），因此从子层到父层，多极子模式数以两倍递增。所以越低的层级，需要的值越大。

图2-10 多极聚合过程，m_l′、m_l′₋₁分别为第l层、第l−1层中源子散射体i所在组的组中心

（3）多极转移

多极聚合到第二层后，便不再向上聚合。此时开始多极转移，即将源区的外向波转移为场区的内向波，为下行过程做准备。图2-11所示为二维多层快速多极子方法中，在第二层的多极转移示意图。

图2-11 维多层快速多极子方法中，第二层的多极转移示意(www.chuimin.cn)

注：m′为源区组，m为场区组，α_mm′为转移因子。

在第二层，在源区组中心m′的聚合量即为以m′为中心的外向波，以场区组中心m为中心的内向波按照如下公式计算

式中，为第二层上的转移因子。之所以选择第二层开始多极转移，是因为在第二层，远亲组即为非附近组，通过远亲组的转移计算可得到待求的所有非附近组的贡献。以上步骤为多层快速多极子方法的上行过程，下面步骤则是多层快速多极子方法的下行过程。

（4）多极配置

多极配置是将在以父层父组中心为中心的内向波转化为以子层子组中心为中心的内向波表达。多极配置是多极聚合的逆过程。与多极聚合中子层到父层采用内插计算类似，多极配置过程中，父层到子层采用伴随内插计算。

对于在第l−1 层、组中心为m_l−1的组内场点j而言，来自该组所有非附近组的贡献为

离散求积分，得

将父层父组的非附近组贡献平移到子层子组的组中心表达为

式中，w_n′、w_n分别为第l−1层和第l层角谱空间积分的权系数；为待定内向波幅度。

与多极聚合（MM）相似，多极配置（LL）中父层的配置因子可由子层的配置因子内插得到，即

交换和次序，得到

（5）多极转移

为了继续从父层到子层递推下去，就必须得到来自子层子组的所有非附近组的贡献。在多极配置过程中，已经考虑了父层父组的所有非附近组的贡献，尚未考虑的是该子层子组的远亲组贡献。于是，在多极配置的基础上再叠加上子层子组的远亲贡献，就得到了子层子组的所有非附近组的贡献。计算式如下

重复步骤（4）和步骤（5），直到最高层为止。

（6）部分场展开

对于最高层每个非空组m，在其组中心进行部分场展开，得到m的所有非附近组对组内场点j的贡献。

式中，为最高层的配置因子；为最高层上以组m为中心的内向波，代表了组m的所有非附近组对组m的贡献。

最后，直接计算附近组的贡献，与非附近组的贡献相叠加，便得到了所有源子散射体对场子散射体的贡献。