可以看出,拉式变换存在的条件要比傅氏变换存在的条件弱得多,但是对一个函数作拉氏变换也要具备一定的条件.对f提什么要求才能使f与指数衰减函数e-αt 的乘积在无穷区间上绝对可积？实数α=Re=Re应该取多大呢？......
2023-10-30
拉氏变换性质|复变函数及应用
【摘要】：这一节将介绍拉氏变换的几个基本性质,它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的.为了叙述方便,假定在这些性质中,凡是要取拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件,并且把这些函数的增长指数统一地设为c.在证明这些性质时,不再重复这些条件.1.线性性质设α,β为常数,且则有或2.相似性质设a ＞0,若L[f(t)]=F (p),则类似有以上两条性质的证明与傅氏变换相应的性质的证明是一样的.3.微分性质
这一节将介绍拉氏变换的几个基本性质,它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的.为了叙述方便,假定在这些性质中,凡是要取拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件,并且把这些函数的增长指数统一地设为c.在证明这些性质时,不再重复这些条件.
1.线性性质
设α,β为常数,且
则有
或
2.相似性质
设a ＞0,若L[f(t)]=F (p),则
类似有
以上两条性质的证明与傅氏变换相应的性质的证明是一样的.
3.微分性质
设L[f(t)]=F (p),L[f′(t)]存在,则
证明
推论设
存在,则
特别当f(0)=f′(0)=···=f(n-1)(0)=0 时,有
由拉氏变换存在定理的结论(8.1.2)式,可得如下象函数的微分性质,即
设L[f(t)]=F (p),则
更一般有
例1 利用线性性质求函数f(t)=ch(kt) 的拉氏变换.
解
同理可得
例2 求L[cos kt](其中k 
0).
解 f(t)=cos kt,则
且f(0)=1,f′(0)=0.由微分性质,得
由此式可解出
例3 利用微分性质求f(t)=tm的拉氏变换(m 为非负整数).
解 因为
而
由拉氏变换微分性质(8.2.3),得
即
这个结果与§1例4的结果一致.
例4 求函数f(t)=t sin kt的拉氏变换.
解 因为L[sin kt]=
由象函数的微分性质可得
同理可得
4.积分性质
若L[f(t)]=F (p),则
证明 设g(t)=
则有
且g(0)=0.由拉氏变换的微分性质(8.2.1)式
即
由拉氏逆变换存在定理,可以得到象函数的积分性质,
若L[f(t)]=F (p),则
或
特别是当
存在时,在(8.2.7) 中,令p=0可得
(www.chuimin.cn)
(8.2.9)给我们提供了一种求反常积分的办法.
例5 求
解 因为L[sin t]=
由象函数的积分性质(8.2.7),得
即
在上式中令p=0,得
这个结果与第七章§1例1一致.
例6 求积分
解 由(8.2.9)
5.延迟性质
若L[f(t)]=F (p),又t ＜0时,f(t)=0,则对任一非负实数t0,有
或
证明 由拉氏变换定义
由t ＜0时f(t) = 0,得上式右端的第一个积分为零.对第二个积分,令u =t-t0,得
因此
延迟性质也称时移性质.f(t-t0) 与f(t)相比,f(t)是从t = 0开始有为非零数值,而f(t-t0)是从t = t0 开始才有为非零数值,即延迟了一个时间t0.如图8-1.
在本章第一节有过约定t ＜0时,f(t)=0,即f(t)应理解为f(t)u(t).这样延迟性质的公式(8.2.10)
应理解为
(8.2.11)式
应理解为
关于这个问题,我们还会在本章评注中通过例题进一步说明.
例7 求函数u(t-t0)=
的拉氏变换.
解 因为
由延迟性质,得
例8 求如图8-2所示的阶梯函数f(t)的拉氏变换.
解 利用单位阶跃函数,将f(t)表为
两边取拉氏变换,并假定右边的拉氏变换可以逐项进行.事实上,对满足拉氏变换存在定理条件的函数f(t)及τ ＞0,都有
得
例9 求f(t)=
的拉氏变换.
解 因为f(t)可以改写为
而
由线性性质及延迟性质,得
例10 设f(t)=(t-1)2,试求f(t)的拉氏变换.
解 因为f(t)=(t-1)2 =t2-2t+1,所以
6.位移性质
若L[f(t)]=F (p),则有
证 由定义
例11 求L[e-p0 t cos kt] 和L[e-p0 ttn].
解 由
利用位移性质,得
例12 求
解
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