拉氏变换定理存在-复变函数及其应用

2023-10-30 理论教育版权反馈

【摘要】：可以看出,拉式变换存在的条件要比傅氏变换存在的条件弱得多,但是对一个函数作拉氏变换也要具备一定的条件.对f提什么要求才能使f与指数衰减函数e-αt 的乘积在无穷区间上绝对可积？实数α=Re=Re应该取多大呢？

可以看出,拉式变换存在的条件要比傅氏变换存在的条件弱得多,但是对一个函数作拉氏变换也要具备一定的条件.对f(t)提什么要求才能使f(t)与指数衰减函数e-αt(α ＞0) 的乘积在无穷区间上绝对可积？实数α=Re(p)=Re(α+iw)应该取多大呢？下面的定理将会回答这个问题.

定理1 若函数f(t满足以下条件：

(1)在t ≥0的任一有限区间上连续或分段连续;

(2)当t →+∞时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在M ＞0及c ∈R,使得

成立(称满足此条件的函数的增长是指数级的,c为它的增长指数),则f(t)的拉氏变换

在半平面Re(p) ＞c上一定存在,右端的积分在Re(p) ＞c上绝对收敛,并且F(p)在Re(p)＞c的半平面内为解析函数,它的导数为

定理的证明从略.下面我们对定理的的条件,结论给予说明.(www.chuimin.cn)

1° 存在定理中的条件是比较弱的.条件(1) 容易满足; 至于条件(2)大多数物理和工程技术中常见的函数也容易满足.例如

尽管这些函数不满足傅氏变换的条件,它们也没有古典意义下的傅氏变换,但它们却满足拉氏变换存在定理的条件.这说明拉氏变换的应用范围更加广泛.下面将给出这些函数的拉氏变换.

2° 由于拉氏变换F(p)在半平面Re(p)＞c 存在且解析,即f(t)的拉氏变换的存在与f(t)的增长指数c有关,因此在以下求函数的拉氏变换,研究拉氏变换的性质以及F(p)的逆变换时都要考虑Re(p) ＞c,这与求傅氏变换是不一样的.

3° 存在定理中的条件是充分的,但非必要条件.比如f(t) =在t =0的邻域无界,故在任何区间[0,a] 上不是分段连续的,即不满足存在定理的条件,但是在下面的例4中,我们可以求出

4° 由于拉氏变换不涉及f(t)当t ＜0情况,故以后约定t ＜0时,f(t)=0,即f(t)等同于f(t)u(t).例如,在本章中sin t应理解为u(t)sin(t).