对于式(6.2.1)给出的分式线性映射,由于f′(z) = 因而f(z)在分母不为零的区域内是保角映射.若对于式（6.2.1)给出的分式线性映射,当c 0 时,规定当c = 0时,规定f(∞) = ∞,则分式线性映射将扩充z平面一一对应地映射为扩充w平面.下面我们说明分式线性映射在整个扩充复平面上都是保角的.我们规定两条曲线在z = ∞处的夹角,等于它们通过变换w = z得到的象曲线在w =0处的......
2023-10-30
复变函数及其应用：整线性映射在扩充复平面具有保圆性
【摘要】：在第1章中我们已经提出,如果把直线看成是半径为无穷大的圆周,则在扩充复平面具有保圆性.下面说明整线性映射在扩充复平面也具有保圆性.令a=|a|ela,则整线性映射w =az+b 可分解成对于w = z +b由复向量的加法,对复平面上任一点z,点w = z +b是点z沿向量b的方向平移了|b|的距离.因此它的作用是把复平面上的任何图形沿复向量b的方向平移了距离|b|,称该映射为平移.对于w =ela
在第1章中我们已经提出,如果把直线看成是半径为无穷大的圆周,则
在扩充复平面具有保圆性.下面说明整线性映射在扩充复平面也具有保圆性.
令a=|a|ela,则整线性映射w =az+b 可分解成
对于w = z +b由复向量的加法,对复平面上任一点z,点w = z +b是点z沿向量b的方向平移了|b|的距离.因此它的作用是把复平面上的任何图形沿复向量b的方向平移了距离|b|,称该映射为平移.
对于w =elaz(a为实数),由于当z 
0时,有|w|=|z|且Argw =Argz+a,因此对任意点z 
0,其象w 只是点z绕坐标原点旋转了角度α,其作用是把复平面上的任何图形绕坐标原点旋转角度a,称该映射为旋转.
对于w =|a|z,因为|w|=|a||z|,且对z 
0 有arg w =arg z,所以对复平面上任一点z,该映射的作用只是将复向量z的模放大或缩小为|w| = |a||z|,其方向不变,称该映射为伸缩.(www.chuimin.cn)
由于平移和旋转映射将直线变为直线,且将圆周变为圆周,而w =|a|z的逆映射为z =
代入圆周或直线方程
其象曲线显然还是圆周或直线,因此这三种映射都具有保圆性,它们的复合映射w =az+b也具有保圆性.
因此,得到下面的结论
定理2 分式线性映射在扩充复平面上是--对应的映射,具有保圆性.当圆周(含直线)上有一点被映射为∞时,该圆周被映射为直线,否则为普通圆周.
有关复变函数及其应用的文章
- 详细阅读
-
复变函数应用：复球面与扩展复平面详细阅读
在第一节中我们知道,复数与平面内的点或向量建立了一一对应关系,所以我们对复数、平面内的点和向量不加区别.除此之外,复数也可与球面上的点一一对应,并用球面上的点来表示,具体做法如下：取一个球面,使之与复平面z相切于原点,球面上的一点S与原点重合,如(图1-5).通过点S作一条垂直于复平面的直线与球面交于另一点N,我们称N为北极,S为南极.对于复平面内任何一点z,现在用直线段将点z与北极N连接起来,那......
2023-10-30
-
三种特殊的分式线性映射在复变函数及其应用中的详细阅读
1.将上半平面Imz ＞0映射为单位圆|w|＜1的分式线性映射设所求的分式线性映射为w =它将Imz = 0 映射|w| = 1,上半平面内一点z0映射为圆心w = 0,根据分式线性映射保对称性的特点,点z0关于实轴的对称点应该映射成点w = 0关于单位圆周对称的点w = ∞,这样,由可得即从而因为边界Imz =0映射成边界|w|=1,所以取z =x(实轴上的点),则得因此所求的分式线性映射为反之......
2023-10-30
-
复变函数与应用-复变函数及其应用详细阅读
幂函数w =zn(n ≥2为自然数)在z平面上处处可导,且除去原点外导数不为零,因此,在z平面上除去原点外是处处保角的.下面讨论w = zn在原点的性质.若令z = reiθ,w = ρeiφ,则由ρeiφ =rnelnθ,得由此可知,在w = zn映射下,z平面上的圆周|z| = r映射成w 平面上的圆周|w|=rn,射线arg z =θ0 映射成射线arg w =φ=nθ0,正实轴θ =0映射......
2023-10-30
-
复变函数函数性态-复变函数及其应用详细阅读
如果是极点,指出它的级.解 令ζ = 则由于g(ζ)在ζ = 0解析且g 0,所以ζ = 0是的简单极点,因此z = ∞是f 的简单极点.......
2023-10-30
-
复积分基本性质详解-复变函数及其应用详细阅读
从复积分的定义,可以推得复积分具有下列基本性质,它们与实变函数中定积分的性质类似.若复变函数f(z)和g(z)沿其积分路径C可积,则有1° f(z)±g(z)沿C可积,且有2° 对任意复数A=a+ib,函数Af(z)沿C可积,有3° f(z)沿C的反向曲线C-可积,且有4° (复积分对积分路径的可加性)若函数f(z)沿曲线Ck(k =1,2,··· ,n)可积,且C 由Ck依次连接而成,则f(z)......
2023-10-30
-
复变函数导数及应用-复变函数及其应用详细阅读
复变函数导数的定义在形式上与一元实变函数一致.定义1 设函数w = f(z)在点z0的某个邻域内有定义,且z0+△z是该邻域中的点,如果极限存在,我们称f(z)在点z0处可导(或可微),并称此极限值为f(z)在z0 点处的导数,记作若函数w = f(z)在点z0可导,导数为f′(z0),那么对于任意给定的ε ＞0,相应地存在δ(ε)＞0,使得当0 ＜|△z|＜δ时,有若函数w =f(z)在区域D内......
2023-10-30
-
复杂函数及其应用-保侧性详细阅读
对于扩充复平面上的任一个圆周(含直线),它的任意有序的不同三点都给出了该圆周的一个绕向.设z1,z2,z3为普通圆周C上的任意三个不同点.动点z沿圆周C从点z1移动到点z2 有两个绕向,一个过点z3,另一个不过z3,这表明沿圆周C 从点z1到z2的方向不是惟一的,不能用它来表示C的方向.可是当动点z沿C移动时,依次通过点z1,z2,z3 的绕向是惟一的.于是可用C 上有序的三点z1z2z3 来表示......
2023-10-30
相关推荐