定义3 设函数w =f(z)在点z0的邻域内有定义,且在z0具有保角性和伸缩率的不变性,则称映射w = f(z)在z0点是保角映射,如果映射w = f(z)在区域内的每一点都是保角的,则称w =f(z)是区域内的保角映射.保角映射也称为保形映射或共形映射.在复变函数中还存在另一类保角映射,具有伸缩率的不变性,但仅保持夹角的绝对值不变而方向相反,称这种映射为第二类保角映射,从而相对地称定义3中所述的......
2023-10-30
保角性成果：复变函数及其应用中的分式线性映射保角
【摘要】：对于式(6.2.1)给出的分式线性映射,由于f′(z) = 因而f(z)在分母不为零的区域内是保角映射.若对于式（6.2.1)给出的分式线性映射,当c 0 时,规定当c = 0时,规定f(∞) = ∞,则分式线性映射将扩充z平面一一对应地映射为扩充w平面.下面我们说明分式线性映射在整个扩充复平面上都是保角的.我们规定两条曲线在z = ∞处的夹角,等于它们通过变换w = z得到的象曲线在w =0处的
对于式(6.2.1)给出的分式线性映射,由于f′(z) =
因而f(z)在分母不为零的区域内是保角映射.
若对于式（6.2.1)给出的分式线性映射,当c 
0 时,规定
当c = 0时,规定f(∞) = ∞,则分式线性映射将扩充z平面一一对应地映射为扩充w平面.下面我们说明分式线性映射在整个扩充复平面上都是保角的.
我们规定两条曲线在z = ∞处的夹角,等于它们通过变换w = z得到的象曲线在w =0处的夹角.
对于反演变换w =
来说,因为
因而除去z = 0 与z = ∞,它是保角的.
在z = 0处,象点w = ∞,通过变换w* =
将其变换到w* = 0 处看是否保角,由于
得到w* =z,且
从而w =
在z =0处是保角的.
在z =∞处,令z* =
则z =∞变为z* =0,由于
则w =z*且
即w =
在z =∞处也是保角的.
对于整线性映射w =az+b(a
0),由于
因而在z 
∞时是保角的.在z =∞时,其象点w =∞,令
则由w =az+b,得
由(www.chuimin.cn)
知,w =az+b在z =∞处也是保角的,因而w =az+b是扩充复平面上的保角映射.
我们可以把一个一般形式的分式线性映射分解成一些简单映射的复合.
当c
0时,式(6.2.1)可写成
即
当c=0时,式(6.2.1)可写成
即
由此可见,一个一般形式的分式线性映射是由下列三种特殊映射复合而成：
因此,我们有下面的定理
定理1 分式线性映射在扩充复平面上是一一对应的,且具有保角性.
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2023-10-30
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2023-10-30
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2023-10-30
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2023-10-30
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2023-10-30
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2023-10-30
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2023-10-30
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