对于式(6.2.1)给出的分式线性映射,由于f′(z) = 因而f(z)在分母不为零的区域内是保角映射.若对于式（6.2.1)给出的分式线性映射,当c 0 时,规定当c = 0时,规定f(∞) = ∞,则分式线性映射将扩充z平面一一对应地映射为扩充w平面.下面我们说明分式线性映射在整个扩充复平面上都是保角的.我们规定两条曲线在z = ∞处的夹角,等于它们通过变换w = z得到的象曲线在w =0处的......
2023-10-30
保角映射概念解析-复变函数应用
【摘要】：定义3 设函数w =f(z)在点z0的邻域内有定义,且在z0具有保角性和伸缩率的不变性,则称映射w = f(z)在z0点是保角映射,如果映射w = f(z)在区域内的每一点都是保角的,则称w =f(z)是区域内的保角映射.保角映射也称为保形映射或共形映射.在复变函数中还存在另一类保角映射,具有伸缩率的不变性,但仅保持夹角的绝对值不变而方向相反,称这种映射为第二类保角映射,从而相对地称定义3中所述的
定义3 设函数w =f(z)在点z0的邻域内有定义,且在z0具有保角性和伸缩率的不变性,则称映射w = f(z)在z0点是保角映射,如果映射w = f(z)在区域内的每一点都是保角的,则称w =f(z)是区域内的保角映射.
保角映射也称为保形映射或共形映射.
在复变函数中还存在另一类保角映射,具有伸缩率的不变性,但仅保持夹角的绝对值不变而方向相反,称这种映射为第二类保角映射,从而相对地称定义3中所述的保角映射为第一类保角映射,简称保角映射.今后如无特殊声明时,我们所说的保角映射都是指第一类保角映射.
由定义3和定理1,我们有:
定理2 若函数f(z)在某区域D内解析,且f′(z)
0,则w =f(z)在D内是保角映射,并且Argf′(z)和|f′(z)|分别为该映射在D内点z处的转动角和伸缩率.
例1 函数w =-z是保角映射.
解 由于w′ =-1
0,由定理2即得.(www.chuimin.cn)
例2 w =
在整个复平面都是第二类保角映射,对于复平面上任一点z0,由于
因此w =
具有伸缩率不变性.
w =
把z平面上的任意曲线变为关于实轴对称的曲线,两曲线间的夹角大小不变,方向相反图(6.5).
综上,w =
是第二类保角映射.
更一般地,若w = f(z)为第一类保角映射,则w =
为第二类保角映射,反之亦然.
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2023-10-30
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2023-10-30
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