幂函数w =zn(n ≥2为自然数)在z平面上处处可导,且除去原点外导数不为零,因此,在z平面上除去原点外是处处保角的.下面讨论w = zn在原点的性质.若令z = reiθ,w = ρeiφ,则由ρeiφ =rnelnθ,得由此可知,在w = zn映射下,z平面上的圆周|z| = r映射成w 平面上的圆周|w|=rn,射线arg z =θ0 映射成射线arg w =φ=nθ0,正实轴θ =0映射......
2023-10-30
解析函数导数的几何意义-复变函数及其应用
【摘要】：设w = f(z)在区域D内解析,z0 ∈D,且f′(z0) 0,C为z平面内通过点z0的一条有向光滑曲线（图6.3(a)):z0 =z(t0),且z′(t0)0,在映射w =f(z)下,C的象曲线Γ(图6.3(b)) 为：w(t0)=w0,Γ的正向为参数t增大的方向.根据复合函数的求导法则,有因此,在Γ上点w0处的切线存在,并且切线的正向与u 轴正向之间的夹角是即这表明,曲线Γ在w0 = f(z
设w = f(z)在区域D内解析,z0 ∈D,且f′(z0) 
0,C为z平面内通过点z0的一条有向光滑曲线（图6.3(a)):
z0 =z(t0),且z′(t0)
0,在映射w =f(z)下,C的象曲线Γ(图6.3(b)) 为：
w(t0)=w0,Γ的正向为参数t增大的方向.
根据复合函数的求导法则,有
因此,在Γ上点w0处的切线存在,并且切线的正向与u 轴正向之间的夹角是
即
这表明,曲线Γ在w0 = f(z0) 处的切线方向,可看作由曲线C在z0处的切线方向旋转一个角度Argf′(z0) 得到.转动角的大小与方向只与z0 有关,而与过z0的曲线C的形状和方向无关.
现在假设曲线C1与C2相交于点z0,它们的参数方程分别是z = z1(t)与z = z2(t),α ≤t ≤β; 并且z0 = z1(t0) = z2(t′0),z′1(t0) 
0,z′2(t′0) 
0,α ＜t0 ＜β,α ＜t′0 ＜β.又设映射w = f(z)将C1与C2 分别映射为相交于点w0 = f(z0) 的曲线Γ1及Γ2,它们的参数方程分别是w = w1(t)与w =w2(t),α ≤t ≤β.由式(6.1.1),有
从而
即
(www.chuimin.cn)
上式两端分别是Γ1与Γ2以及C1与C2 之间的夹角,因此,
相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹角,在其大小和方向上都等同于经过w =f(z)映射后跟C1 与C2 对应的曲线Γ1与Γ2之间的夹角(图6.4).所以这种映射具有保持两曲线间夹角的大小与方向不变的性质.这种性质称为保角性.
下面我们讨论函数f(z)在z0的导数的模|f′(z0)|的几何意义.
设z0 = z(t0),z = z(t0 + Δt),又设曲线C上从z0到z的曲线弧
在映射w = f(z) 下变为Γ上从点到w0到w的曲线弧
这两段弧长分别为Δs和Δσ(图6.3).
于是比值
可看作曲线C经过映射w = f(z)后对于曲线弧
的平均伸缩率.当z沿曲线C趋向z0时,称极限
为曲线C经映射w =f(z)后在点z0的伸缩率.
由于
因此
即
这样|f′(z0)|就是映射w = f(z)在点z0 的伸缩率,它只与z0有关,而与过z0的曲线C的形状和方向无关,这一性质称为伸缩率不变性.
综上,我们有:
定理1 设函数w =f(z)在区域D内解析,z0为D 内的一点,且f′(z0)
0,则映射w =f(z)在z0具有两个性质：
1)保角性 即通过z0的两条曲线间的夹角跟经过映射后所得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变.
2)伸缩率的不变性 即通过z0的任何一条曲线的伸缩率均为|f′(z0)|而与其形状和方向无关.
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