若z0为函数f(z)的孤立奇点,则f(z)在z0的某个去心邻域0 ＜|z-z0|＜R内解析.由解析函数积分的闭路变形原理,对于该邻域内任意一条围绕点z0的正向简单闭曲线C,f(z) 沿C的积分取定值,下面利用该积分来定义留数.定义1 设z0(z0 ∞)为函数f(z)的孤立奇点,C为0 ＜|z-z0|＜R内围绕z0的任一条正向简单闭曲线,称积分为f(z)在点z0处的留数(Residue),记作Res......
2023-10-30
复变函数及其应用：对数留数
【摘要】：函数f(z)关于闭曲线C的对数留数是指积分这里需要假定函数在C上解析.显然当C为简单正向闭曲线时,上述对数留数就是对数函数Lnf(z)的导数在C内部各个孤立奇点处留数之和.函数f(z)关于简单闭曲线C的对数留数与它在C内部的零点和极点的个数有密切的联系.即定理1 若函数f(z)在正向简单闭曲线C 上解析且没有零点,又在C的内部除有限个极点外解析,则有其中N与P分别是f(z)在C内部零点和极点的总个
函数f(z)关于闭曲线C的对数留数是指积分
这里需要假定函数
在C上解析.显然当C为简单正向闭曲线时,上述对数留数就是对数函数Lnf(z)的导数在C内部各个孤立奇点处留数之和.
函数f(z)关于简单闭曲线C的对数留数与它在C内部的零点和极点的个数有密切的联系.即
定理1 若函数f(z)在正向简单闭曲线C 上解析且没有零点,又在C的内部除有限个极点外解析,则有
其中N与P分别是f(z)在C内部零点和极点的总个数,在计算零点与极点的个数时,m级的零点或极点按m个零点或极点计算.
证明 设在C内f(z)只有nk级零点ak(k = 1,2,··· ,s),且只有pk级极点bk(k =1,2,··· ,s).显然有n1+n2+···+ns =N,p1+p2+···+ps =P.由留数定理,只须证明对它的每个零点和极点有
事实上,f(z)在零点ak的邻域|z-ak|＜δ可表示为
其中φk(z)在该邻域内解析且φk(ak)
0.于是有
由于零点ak是孤立的,因此存在它的一个去心邻域使在其内φk(z)
0,从而在该去心邻域内有(www.chuimin.cn)
由于在|z-ak| ＜δ内,φk(z)解析,因而φ′k(z)也解析,并且φk(z) 
0,因此
是这一邻域内的解析函数,从而ak 为函数
的一级极点,且有
同样,由于bk是f(z)在C内的pk级极点,则在bk 的去心邻域0 ＜|z-bk|＜δ′内,有
其中ψk(z)是邻域|z-bk| ＜δ′内的一个解析函数,且ψk(bk) 
0,从而在这个邻域内有ψk(z)
0.由上式得
故在0 ＜|z-bk|＜δ′内,有
由于在|z-bk|＜δ′内,ψk(z)解析,因而ψk(z)也解析,且ψk(z)
0,因此
是这一邻域内的解析函数.由上式知bk是函数
的一级极点且留数为-pk.于是
上面定理可用来计算式(5.4.1)中的复积分.
例1 计算复积分
解 设f(z)=z9-1,则f(z)在正向圆周|z|=4上解析且无零点,而且在其内部也解析,有9个零点,则N =9,P =0,由定理1,得
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