定理3 设函数f(z)在实轴上无奇点,且在上半平面除有限个奇点z1,z2,··· ,zn外解析,若存在正数M和r,使当|z|≥r且Imz ≥0 时,函数f(z)解析且有则有证明 设CR为上半圆周: z = Reiθ(0 ≤θ ≤π),取充分大的R使R ≥r,并且奇点z1,z2,··· ,zn均在由CR 及实轴上从-R到R的一段所围成的半圆内,则由留数定理得只须证明当R →+∞时,上述沿CR 的积分......
2023-10-30
形如的积分：复变函数及其应用
【摘要】：定理2 设f(z)在实轴上解析,在上半平面Imz ＞0除有限个奇点z1,z2,··· ,zn 外解析.若存在正数r,M 和α ＞1,使当|z| ≥r 且Imz ≥0 时f(z)解析且满足|f(z)|≤M/|z|α,则积分I2 =存在且有证明设CR为上半圆周z = Reiθ(0 ≤θ ≤π),取充分大的R 使R ≥r并且奇点z1,z2,··· ,zn均在由CR及实轴上从-R 到R 的一段所围成的闭路
定理2 设f(z)在实轴上解析,在上半平面Imz ＞0除有限个奇点z1,z2,··· ,zn 外解析.若存在正数r,M 和α ＞1,使当|z| ≥r 且Imz ≥0 时f(z)解析且满足|f(z)|≤M/|z|α,则积分I2 =
存在且有
证明设CR为上半圆周z = Reiθ(0 ≤θ ≤π),取充分大的R 使R ≥r并且奇点z1,z2,··· ,zn均在由CR及实轴上从-R 到R 的一段所围成的闭路内(如图5.2),由留数定理得
由于在CR上|f(z)|≤ 
因此
从而当R →+∞时可得所证结果
若f(x)=
为有理函数,Q(x)在x轴上无零点,且Q(x)的次数至少比P(x)的次数高两次,则有
当|z|充分大时,有
即
于是由定理2可得:(www.chuimin.cn)
推论 若f(x) =
为有理函数,在上半平面上的奇点为z1,z2,··· ,zn,Q(z) 在实轴上无零点,且Q(z)的次数至少比P(z)的次数高两次,则式(5.3.2)成立.
例3 计算积分
解 f(z)满足定理2推论的条件,在上半平面内只有两个简单极点z = i和z =2i,且
因此得
例4 计算积分
解 由于f(x)=
为偶函数,因此
f(z)在上半平面有3个简单极点
由定理2推论
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2023-10-30
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2023-10-30
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