函数f(z)关于闭曲线C的对数留数是指积分这里需要假定函数在C上解析.显然当C为简单正向闭曲线时,上述对数留数就是对数函数Lnf(z)的导数在C内部各个孤立奇点处留数之和.函数f(z)关于简单闭曲线C的对数留数与它在C内部的零点和极点的个数有密切的联系.即定理1 若函数f(z)在正向简单闭曲线C 上解析且没有零点,又在C的内部除有限个极点外解析,则有其中N与P分别是f(z)在C内部零点和极点的总个......
2023-10-30
函数在无穷远点的留数的应用
【摘要】：设函数f(z)在z = ∞的去心邻域R ＜|z| ＜+∞内解析,C 为该邻域内包含圆周|z| = R 的任一条简单闭曲线,则闭曲线C环绕z = ∞的正向,就是C环绕z =0的负向,因此我们可定义函数f(z) 在z =∞的留数为定义2 设z =∞是函数f(z)的孤立奇点,f(z)在z =∞心邻域R ＜|z|＜+∞内解析,f(z)在z =∞的留数其中C为包含圆周|z|=R只的任一条正向简单闭曲线.设函
设函数f(z)在z = ∞的去心邻域R ＜|z| ＜+∞内解析,C 为该邻域内包含圆周|z| = R 的任一条简单闭曲线,则闭曲线C环绕z = ∞的正向,就是C环绕z =0的负向,因此我们可定义函数f(z) 在z =∞的留数为
定义2 设z =∞是函数f(z)的孤立奇点,f(z)在z =∞心邻域R ＜|z|＜+∞内解析,f(z)在z =∞的留数
其中C为包含圆周|z|=R只的任一条正向简单闭曲线.
设函数f(z)在z = ∞的去心邻域R ＜|z| ＜+∞内的洛朗级数为式(5.1.5),由洛朗级数的系数公式有
从而有
即f(z)在∞点的留数等于它在∞点的去心邻域R ＜|z| ＜+∞内洛朗级数中z-1 的系数的相反数.
定理3 若函数f(z)在有限复平面内只有有限个孤立奇点z1,z2,··· ,zn,则z =∞也是f(z)的孤立奇点,且
证明令R = max{|z1|,|z2|,··· ,|zn|},则f(z)在点z = ∞的邻域R ＜|z| ＜+∞内解析,z = ∞是f(z)的孤立奇点.设C 为包含圆周|z| = R的任意正向简单闭曲线,由留数定理及在无穷远点的留数定义有
由函数在无穷远点的留数定义及定理2可得(www.chuimin.cn)
上式可用来计算函数f(z)在无穷远点的留数.
例8 计算积分
C为正向圆周: |z|=3,
解 被积函数f(z)=
在|z|=3的内部有6个1级极点
在|z| = 3的内部.直接使用式(5.2.6),要计算6个1级极点的留数,比较麻烦.
在|z|=3的外部的奇点为1级极点z =4及z =∞,且
由定理3,得
从而有
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2023-10-30
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2023-10-30
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2023-10-30
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2023-10-15
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2023-10-30
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