下面讨论积分式(3.1.1)在什么条件下存在.函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内处处连续,则u(x,y)及v(x,y)均为D内的连续函数.设ζk =ξk+iηk,由于因此由于u,v都是连续函数,根据线积分的存在定理可知,当弧段长度的最大值趋于零时,不论对C的分法如何,点(ξk,ηk) 的取法如何,上式右端的两个和式的极限都是存在的.因此有为便于记忆,公式(3.1.2)在形式上可以看作......
2023-10-30
使用留数定理计算复积分
【摘要】：使用下面的定理,我们可以利用留数计算复积分.定理1(留数定理) 若函数f(z)在正向简单闭曲线C上处处解析,在C 的内部除有限个孤立奇点z1,z2,··· ,zn外解析,则有证明 在C的内部围绕每个奇点zk作互不包含的正向小圆周Ck,k =1,2,··· ,n(图5.1),根据复合闭路定理有由留数的定义从而有利用留数定理,求沿封闭曲线C的积分,就转化为求被积函数在C 中的各孤立奇点处的留数.例4
使用下面的定理,我们可以利用留数计算复积分.
定理1(留数定理) 若函数f(z)在正向简单闭曲线C上处处解析,在C 的内部除有限个孤立奇点z1,z2,··· ,zn外解析,则有
证明 在C的内部围绕每个奇点zk作互不包含的正向小圆周Ck,k =1,2,··· ,n(图5.1),根据复合闭路定理有
由留数的定义
从而有
利用留数定理,求沿封闭曲线C的积分,就转化为求被积函数在C 中的各孤立奇点处的留数.
例4 计算积分
解 z =0为被积函数f(z)=
的一级极点,z =1 为f(z) 的三级极点,例1(1)中已算出
z =0及z =1均在|z|=3的圆周内,由留数定理
例5 计算积分
解 f(z) =
在|z| = 3的内部有三个一级极点z = 0，z = 2i，z =-2i.
故由留数定理
对有些复变函数的积分用下面定理计算更简便.
定理2 若函数f(z)在环域R ＜|z| ＜∞内解析(在圆|z| ＜R内可能有无穷多个奇点),则有(www.chuimin.cn)
其中C是包含圆周|z|=R的任一条正向简单闭曲线.
证明 设f(z)在环域R ＜|z|＜+∞内的洛朗级数为
则有
做变换z =
则函数
在点η = 0的去心邻域0 ＜|η| ＜
内解析,且在该邻域内洛朗级数为
两边同乘以
得
由于
因此
例6 计算下列积分.
解 (1)被积函数的五个奇点都在|z|=3的内部.若使用定理1,要计算五个奇点的留数,比较麻烦,故使用定理2.
(2)f(z)在环域2 ＜|z| ＜+∞内解析,但在|z| ＜2内有无数个奇点,故使
用定理2.
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2023-10-19
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2023-10-30
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2023-10-30
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2023-10-30
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