定理2 设f(z)在实轴上解析,在上半平面Imz ＞0除有限个奇点z1,z2,··· ,zn 外解析.若存在正数r,M 和α ＞1,使当|z| ≥r 且Imz ≥0 时f(z)解析且满足|f(z)|≤M/|z|α,则积分I2 =存在且有证明设CR为上半圆周z = Reiθ(0 ≤θ ≤π),取充分大的R 使R ≥r并且奇点z1,z2,··· ,zn均在由CR及实轴上从-R 到R 的一段所围成的闭路......
2023-10-30
使用洛朗级数展开式计算积分-复变函数应用
【摘要】：若f(z)在圆环域R1 ＜|z-z0|＜R2内解析,C 为圆环域内绕z0的正向简单闭曲线,则f(x)在该圆环域内的洛朗展开式为其中因而可以将复积分的计算转化为求被积函数的洛朗展开式中(z-z0)的负一次幂项的系数c-1.例4 计算积分解 函数f(z)= 在1 ＜|z|＜∞内解析,|z|=3 在此圆环域内,把它在此圆环域内展开得故从而例5 计算积分解 先分析函数的解析性.令ζ = 由于ln ζ的不解
若f(z)在圆环域R1 ＜|z-z0|＜R2内解析,C 为圆环域内绕z0的正向简单闭曲线,则f(x)在该圆环域内的洛朗展开式为
其中
因而可以将复积分的计算转化为求被积函数的洛朗展开式中(z-z0)的负一次幂项的系数c-1.
例4 计算积分
解 函数f(z)= 
在1 ＜|z|＜∞内解析,|z|=3 在此圆环域内,把它在此圆环域内展开得
故
从而
例5 计算积分
解 先分析函数
的解析性.令ζ = 
由于ln ζ的不解析点为原点及负实轴,因此
的奇点的值满足等式1+
= x (x ≤0),其奇点可以表示为z =
(x ≤0).这些奇点有无穷多个,构成了实轴上的区间[-1,0],因此函数ln(1+ 
)在环域1 ＜|z| ＜∞内解析.|z| = 3 在此圆环域内,利用泰勒级数展开式(www.chuimin.cn)
得到在环域1 ＜|z|＜∞内的洛朗级数展开式
于是
从而I =2πic-1 =-πi.
例6 计算积分
解函数f(z)=
的奇点为z1 =0,z2 =-1.由于积分曲线|z|=4既在圆环域1 ＜|z| ＜∞内,又在圆环域1 ＜|z +1| ＜∞内.这样,我们可以把f(z)在z1 = 0处展开成洛朗级数,也可在z2 = -1处展成洛朗级数,注意将f(z)在z2 = -1处展开成洛朗级数较为简便.下面我们在圆环域1 ＜|z+1|＜∞内把f(z)展开成洛朗级数.
首先需要将函数
在该环域1 ＜|z+1|＜∞内展开成洛朗级数.
两边同除以(z+1)3得所求展开式
因此c-1 =0,从而有
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2023-10-30
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2023-10-30
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2023-10-30
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2023-10-30
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2023-10-30
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