在圆环域R1 ＜|z-z0|＜R2内处处解析的函数f(z)可以展开成z-z0的正、负幂项都有的级数,称为f(z)的洛朗(Laurent) 级数.定理1(洛朗级数展开定理) 设R1 ＜|z - z0| ＜R2 为环域D,函数f(z)在D内解析,则对D 内任意点z有其中C为在该环域内任意一条围绕点z0的正向简单闭路.证明对任意z ∈D,在D内分别作正向圆周C1 和C2,其中C1为|ζ-z0|=r1,C......
2023-10-30
泰勒定理|复变函数应用
【摘要】：对于一元实函数来说,若f(x)在点x0的某邻域内有任意阶的导数,并且在该邻域内恒有余项则f(x)在点x0的该邻域内的泰勒(Taylor)级数展开式为复变函数中,函数f(x)在点z0的某邻域内有任意阶导数等价于它在该邻域内解析,对于解析函数有下面的展开定理.定理1(泰勒级数展开定理) 若函数f(z) 在圆形区域D:|z-z0| ＜R内解析,则它在D内可展开为幂级数其中 若C为D内绕z0 的正向简单闭
对于一元实函数来说,若f(x)在点x0的某邻域内有任意阶的导数,并且在该邻域内恒有余项
则f(x)在点x0的该邻域内的泰勒(Taylor)级数展开式为
复变函数中,函数f(x)在点z0的某邻域内有任意阶导数等价于它在该邻域内解析,对于解析函数有下面的展开定理.
定理1(泰勒级数展开定理) 若函数f(z) 在圆形区域D:|z-z0| ＜R内解析,则它在D内可展开为幂级数
其中
若C为D内绕z0 的正向简单闭曲线,则
并且展开式惟一.
在定理1中并没有要求余项趋于零,也就是说若函数f(z在z0 点解析,则在该点的某个邻域内一定可展开成幂级数.
为证明定理1,首先证明下面的引理.
引理(函数项级数的逐项积分) 设S(z)和fn(z)(n = 0,1,2,···) 在区域D内连续,C为D内任一有向简单曲线,且当z ∈D时有
若存在收敛的正项级数A0+A1+···+An+···,使在C上恒有
则有
证明 由于级数
收敛,因此当N →∞时,必有其余项
于是设曲线C长为L,当N →∞时有
这就证明了该引理.
定理1的证明 设z为D内任一点,对于D内任一闭曲线C,总可取圆周Γ : |ζ -z0| = r使点z和曲线C都在Γ的内部(图4.1).由于f(z)在Γ上及其
内部解析,因此由柯西积分公式可得
(www.chuimin.cn)
由于|z-z0|＜r,因此
从而
即
由于f(ζ)在Γ上连续,故|f(ζ)|在Γ上有上界M,从而对Γ内任一点z有
由于
是收敛的等比级数,对式(4.3.3)使用引理得
即
使用柯西积分公式和高阶导数公式,则有
令cn = 
则
下面证唯一性.设f(z)在D内又可展成
则因为幂级数在收敛圆内可逐项求导,则有
令z =z0,则
于是
即展开式唯一.
由此定理可知,求解析函数在z0点的泰勒级数展开式,无须验证RN(z)→0(N →∞).
设z1为距z0最近的f(z)的奇点,令|z-z0|=R,则R 为f(z)在z0点的泰勒级数的收敛半径.这是因为f(z) 在收敛圆内解析,故奇点z1 不可能在收敛圆内,又因为奇点z1不可能在收敛圆外,不然收敛半径还可以扩大,因此奇点z1 只能在收敛圆周上.
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2023-10-30
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2023-10-30
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