幂函数w =zn(n ≥2为自然数)在z平面上处处可导,且除去原点外导数不为零,因此,在z平面上除去原点外是处处保角的.下面讨论w = zn在原点的性质.若令z = reiθ,w = ρeiφ,则由ρeiφ =rnelnθ,得由此可知,在w = zn映射下,z平面上的圆周|z| = r映射成w 平面上的圆周|w|=rn,射线arg z =θ0 映射成射线arg w =φ=nθ0,正实轴θ =0映射......
2023-10-30
复变函数及其应用：幂级数运算特性
【摘要】：对于收敛圆的圆心相同的两个复数项幂级数,它们的四则运算可以像实数项幂级数那样来进行,要根据其系数来确定.对于和、差、积所得幂级数在其公共收敛圆内显然收敛,其收敛半径不会小于所给级数的收敛半径最小的一个.如对乘积运算若上式左端两个幂级数的收敛半径分别为R1和R2,则其积的幂级数收敛半径R ＞min{R1,R2}.为了说明两个幂级数经过运算后所得的幂级数的收敛半径确实可以大于R1 和R2 中较小的一个
对于收敛圆的圆心相同的两个复数项幂级数,它们的四则运算可以像实数项幂级数那样来进行,要根据其系数来确定.对于和、差、积所得幂级数在其公共收敛圆内显然收敛,其收敛半径不会小于所给级数的收敛半径最小的一个.如对乘积运算
若上式左端两个幂级数的收敛半径分别为R1和R2,则其积的幂级数收敛半径R ＞min{R1,R2}.为了说明两个幂级数经过运算后所得的幂级数的收敛半径确实可以大于R1 和R2 中较小的一个,给出下面的例子.
例4 设有幂级数
的收敛半径.
解 容易验证
的收敛半径都等于1.但级数
的收敛半径
也就是说,
自身的收敛圆域大于
的公共圆域|z|＜1,但应注意,使等式
成立的收敛圆域应仍为|z|＜1,不能扩大.
代换(复合)运算.若当|η| ＜r时,f(η) =
又设在|z| ＜R内g(z)解析且满足|g(z)| ＜r,则当|z| ＜R时,f[g(z)] =
这个代换运算,在把函数展开成幂级数时,特别有用.(www.chuimin.cn)
复变幂级数在收敛圆内可以逐项求导,也可以逐项积分.
定理4 设幂级数
的收敛半径为R,则
(1)它的和函数f(z),即
是收敛圆内：|z-z0|＜R的解析函数.
(2)f(z)在收敛圆内的导数可由其幂级数逐项求导得到,即
(3)f(z)在收敛圆内可以逐项积分,即
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2023-10-30
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2023-10-30
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复变函数及其应用：对数留数详细阅读
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2023-10-30
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复变函数及其应用：形如的积分探讨详细阅读
定理3 设函数f(z)在实轴上无奇点,且在上半平面除有限个奇点z1,z2,··· ,zn外解析,若存在正数M和r,使当|z|≥r且Imz ≥0 时,函数f(z)解析且有则有证明 设CR为上半圆周: z = Reiθ(0 ≤θ ≤π),取充分大的R使R ≥r,并且奇点z1,z2,··· ,zn均在由CR 及实轴上从-R到R的一段所围成的半圆内,则由留数定理得只须证明当R →+∞时,上述沿CR 的积分......
2023-10-30
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定理2 设f(z)在实轴上解析,在上半平面Imz ＞0除有限个奇点z1,z2,··· ,zn 外解析.若存在正数r,M 和α ＞1,使当|z| ≥r 且Imz ≥0 时f(z)解析且满足|f(z)|≤M/|z|α,则积分I2 =存在且有证明设CR为上半圆周z = Reiθ(0 ≤θ ≤π),取充分大的R 使R ≥r并且奇点z1,z2,··· ,zn均在由CR及实轴上从-R 到R 的一段所围成的闭路......
2023-10-30
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幂函数的规定及性质-复变函数及其应用详细阅读
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2023-10-30
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