由阿贝尔定理可知,收敛半径一定存在,当R=∞时,级数在整个复平面收敛,当R=0 时,级数只在z =0收敛.关于收敛半径的求法,我们有下面的结论:定理2(比值法) 设幂级数为则收敛半径证明 由于故知当|z|＜ 收敛.从而级数在圆|z|=内收敛且绝对收敛.再证当|z| ＞时,级数发散.假设在圆|z| =外有一点z0,使级数收敛.在圆外再取一点z1,使|z1|＜|z0|,那么根据阿贝尔定理,级数必收敛.......
2023-10-30
复变函数：收敛圆与半径
【摘要】：同高等数学中的实变幂级数一样,复变幂级数也有所谓幂级数的收敛定理,即阿贝尔(Abel) 定理.定理1(阿贝尔定理) 若级数在z = z0( 0) 收敛,那么对满足|z| ＜|z0| 的z,级数必绝对收敛.若在z = z0级数发散,那么对满足|z|＞|z0| 的级数必发散.证明 若级数收敛,根据收敛的必要条件,有因而存在正数M,使对所有的n有若|z|＜|z0|,则从而由于为公比小于1的等比级数,故收
同高等数学中的实变幂级数一样,复变幂级数也有所谓幂级数的收敛定理,即阿贝尔(Abel) 定理.
定理1(阿贝尔定理) 若级数
在z = z0(
0) 收敛,那么对满足|z| ＜|z0| 的z,级数必绝对收敛.若在z = z0级数发散,那么对满足|z|＞|z0| 的级数必发散.
证明 若级数
收敛,根据收敛的必要条件,有
因而存在正数M,使对所有的n有
若|z|＜|z0|,则
从而
由于
为公比小于1的等比级数,故收敛,根据正项级数的比较审敛法知
收敛,从而级数
绝对收敛.
若级数
发散,|z1|＞|z0| 且在z1 处级数收敛,则由上面的证明结果可知在z0(|z0|＜|z1|) 处级数收敛,这与级数
发散矛盾.(www.chuimin.cn)
由阿贝尔定理知级数
的收敛情况分为三种:
(1)仅在z =0处收敛，如
(2)在整个复平面内处处收敛，如
(3)在复平面上存在一点z0,在|z|＜|z0|处收敛,在|z|＞|z0| 时发散.
若令R=|z0|,则称圆周|z|=R为幂级数的收敛圆,在收敛圆的内部,级数绝对收敛,在收敛圆的外部,级数发散.收敛圆的半径R称为收敛半径.因此幂级数(4.2.3) 的收敛范围是以原点为中心的圆域.对幂级数(4.2.2)来说,它的收敛范围是以z =a为中心的圆域.在收敛圆的圆周上是收敛还是发散,要对具体级数进行具体分析.
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2023-10-30
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