前面我们证明了在区域D内的解析函数,其导数仍为D内的解析函数,下面我们用这个结论来研究解析函数与调和函数的关系.定义1 若φ(x,y)在平面区域D内有二阶连续偏导数,并且满足拉普拉斯(Laplace)方程则称φ=φ(x,y)在D内为调和函数.引入记号称为Laplace算子,则式(3.5.1)可简记为△φ=0.定理1 若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析,则u=u(x,y)和v......
2025-09-30
复变函数：收敛圆与半径
【摘要】：同高等数学中的实变幂级数一样,复变幂级数也有所谓幂级数的收敛定理,即阿贝尔(Abel) 定理.定理1(阿贝尔定理) 若级数在z = z0( 0) 收敛,那么对满足|z| ＜|z0| 的z,级数必绝对收敛.若在z = z0级数发散,那么对满足|z|＞|z0| 的级数必发散.证明 若级数收敛,根据收敛的必要条件,有因而存在正数M,使对所有的n有若|z|＜|z0|,则从而由于为公比小于1的等比级数,故收
同高等数学中的实变幂级数一样,复变幂级数也有所谓幂级数的收敛定理,即阿贝尔(Abel) 定理.
定理1(阿贝尔定理) 若级数
在z = z0(
0) 收敛,那么对满足|z| ＜|z0| 的z,级数必绝对收敛.若在z = z0级数发散,那么对满足|z|＞|z0| 的级数必发散.
证明 若级数
收敛,根据收敛的必要条件,有
因而存在正数M,使对所有的n有
若|z|＜|z0|,则
从而
由于
为公比小于1的等比级数,故收敛,根据正项级数的比较审敛法知
收敛,从而级数
绝对收敛.
若级数
发散,|z1|＞|z0| 且在z1 处级数收敛,则由上面的证明结果可知在z0(|z0|＜|z1|) 处级数收敛,这与级数
发散矛盾.(https://www.chuimin.cn)
由阿贝尔定理知级数
的收敛情况分为三种:
(1)仅在z =0处收敛，如
(2)在整个复平面内处处收敛，如
(3)在复平面上存在一点z0,在|z|＜|z0|处收敛,在|z|＞|z0| 时发散.
若令R=|z0|,则称圆周|z|=R为幂级数的收敛圆,在收敛圆的内部,级数绝对收敛,在收敛圆的外部,级数发散.收敛圆的半径R称为收敛半径.因此幂级数(4.2.3) 的收敛范围是以原点为中心的圆域.对幂级数(4.2.2)来说,它的收敛范围是以z =a为中心的圆域.在收敛圆的圆周上是收敛还是发散,要对具体级数进行具体分析.
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2025-09-30
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