设α1,α2,··· ,αn,··· 为一个复数列,其通项为α=an+ibn,可简记该复数列为{αn}.定义1 设{αn}为一个复数列且α = a+ib为复常数.若对任意正数ε都存在对应的正整数N,使当n ＞N时恒有|αn-α| ＜ε,则称该复数列收敛且其极限为α,记为这时也称复数列{αn}收敛于α,如果不存在任何有限复常数α使得复数列{αn} 收敛于α,则称复数列{αn}是发散的.由复数列{αn......
2023-10-30
复数项级数的收敛性及判别法-书籍《复变函数及其应用》内容
【摘要】：设{αn}={an+ibn}(n=1,2,···) 为一复数列,表达式称为无穷级数,其前n项的和称为级数的部分和.若该部分和数列收敛,其极限为S,则称上述复数项级数收敛,且称S 为该级数的和,记为若部分和数列{Sn}发散,则称级数发散.定理4 级数 收敛的充要条件是其实部级数和虚部级数都收敛.证明 因其中σn =a1+a2+···+an,τn =b1+b2+···+bn 分别为 的部分和.由定理2
设{αn}={an+ibn}(n=1,2,···) 为一复数列,表达式
称为无穷级数,其前n项的和
称为级数的部分和.
若该部分和数列收敛,其极限为S,则称上述复数项级数收敛,且称S 为该级数的和,记为
若部分和数列{Sn}发散,则称级数
发散.
定理4 级数
收敛的充要条件是其实部级数
和虚部级数
都收敛.
证明 因
其中σn =a1+a2+···+an,τn =b1+b2+···+bn 分别为
的部分和.由定理2,Sn 有极限存在的充要条件是σn 和τn 的极限存在,即级数
都收敛.
定理4将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题,而由实数项级数
收敛的必要条件
立即可得
定理5 复数项级数
收敛的必要条件是
(www.chuimin.cn)
如果
收敛,那么称级数
为绝对收敛.非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
定理6 若
也收敛.
证明 由于
而
根据实数项级数的比较准则,可知级数
都收敛,因而
和
也都收敛.由定理2,可知
是收敛的.由定理6知,若级数绝对收敛,则它本身一定收敛,但反之不真.
例2 判别下列级数的收敛性,若级数收敛,指出是绝对收敛还是条件收敛.
解 (1)因|αn|≥1不趋向于零,由定理5,该级数发散.
(2)因
由正项级数的比值审敛法知
收敛,故原级数收敛,且为绝对收敛.
(3)其实部级数为
虚部级数为
由交错级数判别法可知它们都收敛,于是由定理3,得所给原级数收敛.
又由于
由调和级数的发散性和正项级数比较判别法得,所给原级数非绝对收敛,因而条件收敛.
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