1.绝对收敛与条件收敛的概念设级数有无穷多个正项，也有无穷多个负项，则称是任意项级数.任意项级数的收敛性分绝对收敛、条件收敛及发散.如果收敛，则称绝对收敛；如果发散，但收敛，则称条件收敛.注 （ⅰ）一般地，当发散时，未必发散.但是，如果由正项级数比值判别法或根值判别法判定发散时，则必发散.（ⅱ）如果绝对收敛，则的收敛性与的收敛性相同.如果收敛，发散，则发散.2.交错级数的莱布尼茨定理设an>0（n=1，2，…......
2023-10-27
复数列收敛性及判别法
【摘要】：设α1,α2,··· ,αn,··· 为一个复数列,其通项为α=an+ibn,可简记该复数列为{αn}.定义1 设{αn}为一个复数列且α = a+ib为复常数.若对任意正数ε都存在对应的正整数N,使当n ＞N时恒有|αn-α| ＜ε,则称该复数列收敛且其极限为α,记为这时也称复数列{αn}收敛于α,如果不存在任何有限复常数α使得复数列{αn} 收敛于α,则称复数列{αn}是发散的.由复数列{αn
设α1,α2,··· ,αn,··· 为一个复数列,其通项为α=an+ibn,可简记该复数列为{αn}.
定义1 设{αn}为一个复数列且α = a+ib为复常数.若对任意正数ε都存在对应的正整数N,使当n ＞N时恒有|αn-α| ＜ε,则称该复数列收敛且其极限为α,记为
这时也称复数列{αn}收敛于α,如果不存在任何有限复常数α使得复数列{αn} 收敛于α,则称复数列{αn}是发散的.
由复数列{αn}收敛的定义可以得到下面的结论.
定理1 当n →∞时有
复数列的收敛性可以转化对两个实数列的收敛性的判定.
定理2 复数列αn收敛于α的充要条件是
证明 若
则对于任意给定的ε ＞0,都能找到一个正整数N,当n ＞N 时
从而有
所以
同理(www.chuimin.cn)
反之,如果
则存在一个正整数N,当n ＞N时
从而有
所以
例1 判别下列数列的收敛性和极限.
解 (1)令an +ibn =
则an = 0,bn =
显然an →0 且bn →1/2(n →∞),于是由定理2,该数列当n →∞时收敛,其极限为i/2.
(2)显然,当n →∞时,
由定理1,该数列收敛且极限为零.
(3)由于
因此an =0,bn =sin((n+
且当n →∞时数列bn 发散.于是由定理2得该数列发散.
定理3(柯西收敛准则) 复数列αn收敛的充分必要条件是: 对任意给定的ε ＞0,存在自然数N,使当n ＞N 时,对于任何自然数P,有
这个定理可用定理2与实数数列的柯西收敛准则来证明.
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2023-10-30
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2023-10-27
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2023-10-27
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2023-06-24
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2023-10-30
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