幂函数w =zn(n ≥2为自然数)在z平面上处处可导,且除去原点外导数不为零,因此,在z平面上除去原点外是处处保角的.下面讨论w = zn在原点的性质.若令z = reiθ,w = ρeiφ,则由ρeiφ =rnelnθ,得由此可知,在w = zn映射下,z平面上的圆周|z| = r映射成w 平面上的圆周|w|=rn,射线arg z =θ0 映射成射线arg w =φ=nθ0,正实轴θ =0映射......
2023-10-30
复变函数与调和函数的关系
【摘要】：前面我们证明了在区域D内的解析函数,其导数仍为D内的解析函数,下面我们用这个结论来研究解析函数与调和函数的关系.定义1 若φ(x,y)在平面区域D内有二阶连续偏导数,并且满足拉普拉斯(Laplace)方程则称φ=φ(x,y)在D内为调和函数.引入记号称为Laplace算子,则式(3.5.1)可简记为△φ=0.定理1 若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析,则u=u(x,y)和v
前面我们证明了在区域D内的解析函数,其导数仍为D内的解析函数,下面我们用这个结论来研究解析函数与调和函数的关系.
定义1 若φ(x,y)在平面区域D内有二阶连续偏导数,并且满足拉普拉斯(Laplace)方程
则称φ=φ(x,y)在D内为调和函数.
引入记号
称为Laplace算子,则式(3.5.1)可简记为△φ=0.
定理1 若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析,则u=u(x,y)和v =v(x,y) 在D内都是调和函数.
证明 由于f(z)=u+iv为D内的一个解析函数,那么
从而
由上一节的定理2知u与v具有任意阶的连续偏导数.所以
从而
同理
因此u与v都是调和函数.
但是若已知区域D内的两个调和函数u = u(x,y),v = v(x,y),由此构造一个复变函数f(z) = u+iv,则由于u和v 不一定满足C-R方程,因此f(z)不一定是D内的解析函数.
定义2 若u = u(x,y),v = v(x,y)均为区域D内的调和函数,且满足CR方程
则称u是v的共轭调和函数.
由上面的定理可知,区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.
若已知区域D内的一个调和函数u,则可以利用C-R方程求得它的共轭调和函数v,从而构成一个解析函数u+iv.
由于多连通域可用割线分成一个或多个单连通域,因此只讨论D为单连通域的情形.
设已知单连通域D内解析函数的实部u = u(x,y),求其虚部调和函数v =v(x,y),这时有
得
从而
是全微分,则存在一个函数v(x,y),使
取D内一固定点z0 =x0+iy0,则有
两边对x,y求偏导,则有
即u和v满足C-R方程.
由于u是调和函数,因而在D内有连续的二阶偏导,从而一阶偏导连续,再由C-R方程,得u和v在D内任一点处可微,这样函数f(z) = u+iv在区域D内解析.这种求解析函数的方法称为线积分法.由上面的讨论,可以得到下面的结论.
定理2 设u(x,y)是单连通域D内的调和函数,则存在函数v(x,y),使函数f(z)=u+iv在D 内解析.
在式(3.5.2)的计算中,由于该积分在D内与积分路径无关,可在D内取定点(x0,y0)和平行于坐标轴的路径来计算.如取从点(x0,y0)到(x,y0)再到点(x,y)的折线段可得(www.chuimin.cn)
同理在D内已知其虚部v =v(x,y),可求出其实部u=u(x,y),由于
得
取从点(x0,y0)到(x,y0)再到点(x,y) 的折线段可得
例1 已知u = x/(x2+y2)在右半平面Rez ＞0是调和函数,求在该半平面解析的函数f(z)=u+iv使
解 求偏导数得
在该半平面取点(x0,y0)为(1,0),由式(3.5.3)得
于是得f(z) = (x-iy)/(x2+y2)+ci =
由条件f(1+i) = (1-i)/2得c=0,因此
下面再介绍两种已知调和函数u(x,y)或v(x,y)求解析函数f(z) = u+iv的方法.首先通过例子说明.
例2 验证v(x,y) = 
是在右半平面(x ＞0)内的调和函数,求以此为虚部的解析函数f(z)=u+iv.
解 由于
从而有
因此vxx+vyy =0(x ＞0),即v(x,y)在右半平面内是调和函数.
由
得
两边对y求偏导,再由
得
得ψ′(y)=0,即ψ(y)=c,因此
在右半平面内单值解析.
下面再介绍另一种求解析函数的方法.我们知道,解析函数f(z) =u+iv的导数f′(z)仍为解析函数,且
把ux-iuy与vy+ivx还原成z的函数(即用z来表示),得
将它们积分,即得
已知实部u求f(z)可用式(3.5.6),已知虚部v求f(z)可用式(3.5.7).
例2 已知u(x,y) = y3-3x2y在整平面内是调和函数,求以此为实部的解析函数f(z).
解 因u(x,y)=y3-3x2y,故ux =-6xy,uy =3y2-3x2,从而
故
其中c1为任意纯虚数,因为f(z)的实部为已知函数,不可能包含实的任意常数.所以
其中c为任意实常数.
有关复变函数及其应用的文章
- 详细阅读
-
复变函数函数性态-复变函数及其应用详细阅读
如果是极点,指出它的级.解 令ζ = 则由于g(ζ)在ζ = 0解析且g 0,所以ζ = 0是的简单极点,因此z = ∞是f 的简单极点.......
2023-10-30
-
复变函数导数及应用-复变函数及其应用详细阅读
复变函数导数的定义在形式上与一元实变函数一致.定义1 设函数w = f(z)在点z0的某个邻域内有定义,且z0+△z是该邻域中的点,如果极限存在,我们称f(z)在点z0处可导(或可微),并称此极限值为f(z)在z0 点处的导数,记作若函数w = f(z)在点z0可导,导数为f′(z0),那么对于任意给定的ε ＞0,相应地存在δ(ε)＞0,使得当0 ＜|△z|＜δ时,有若函数w =f(z)在区域D内......
2023-10-30
-
解析函数概念|复变函数及应用详细阅读
解析函数是指在某个区域内可导的函数,它在理论和实际问题中应用广泛,具体定义如下：定义2 若函数f(z)在点z0的某个邻域内(包含点z0)处处可导,我们称f(z)在点z0处解析,也称它在z0全纯或正则,并称z0 是f(z) 的解析点,若函数f(z)在点z0处不解析,则称点z0 是f(z)的奇点; 若函数f(z)在区域D内的每一点都解析,则称函数f(z)在区域D内解析,或称f(z)是区域D内的解析函数......
2023-10-30
-
复变函数：收敛圆与半径详细阅读
同高等数学中的实变幂级数一样,复变幂级数也有所谓幂级数的收敛定理,即阿贝尔(Abel) 定理.定理1(阿贝尔定理) 若级数在z = z0( 0) 收敛,那么对满足|z| ＜|z0| 的z,级数必绝对收敛.若在z = z0级数发散,那么对满足|z|＞|z0| 的级数必发散.证明 若级数收敛,根据收敛的必要条件,有因而存在正数M,使对所有的n有若|z|＜|z0|,则从而由于为公比小于1的等比级数,故收......
2023-10-30
-
复变函数的定义及应用详细阅读
复变函数的定义在形式上与一元实函数一样,只是将自变量和因变量都推广到了复数域.定义1 设D为复平面上的非空集合[1],若有一个确定的法则存在,按照这一法则,对于D 内的每一个复数z =x+iy,都有确定的复数w =u+iv 与之对应,我们称复变数w是z的复变函数,记为w =f(z).其中z称为自变量,w为因变量,集合D称为w = f(z)的定义域,与D 中所有复数z对应的w值的集合G 称为w =f......
2023-10-30
-
复变函数应用：复数的幂与方根详细阅读
设z1 =r1eiθ1,z2 =r2eiθ2,··· ,zn =rneiθn是n个非零复数,用数学归纳法可以得到这n个复数的乘积为特别地,当这n个复数相同时,我们把n个相同的复数z的乘积称为z的n次幂，记作zn.设z =reiθ,则zn =rneinθ =rn(cos nθ+i sin nθ).当r =1时，即z =cos θ+i sin θ,有(cos θ+i sin θ)n =cos nθ+i......
2023-10-30
-
复变函数的极限与连续性详解详细阅读
复变函数和实变函数类似,同样可以讨论函数的极限和连续性,且形式基本上与实变函数一致.现在介绍复变函数的极限概念.定义3 设函数w = f(z)在点z0的去心邻域:0 ＜|z - z0| ＜ρ内有定义.如果存在一个复常数A,使得对于任意给定的ε ＞0,总存在一个实数δ ＞0(δ ＜ρ),当0 ＜|z-z0|＜δ 时,有|f(z)-A|＜ε,我们称A为f(z)当z趋于z0时的极限,记为复变函数极限的几......
2023-10-30
相关推荐