由上一节复积分与实积分的关系式(3.1.2)可以看出,该复积分与路径无关的充要条件是其右端的两个对坐标的曲线积分都与路径无关.而平面上的曲线积分与路径无关的充要条件为:若函数P(x,y)和Q(x,y)在单连通域D内具有一阶连续偏导数,L为D内分段光滑的曲线,则曲线积分在D内与路径无关(或沿D内任意闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是等式在D内恒成立.对于式右端的两个曲线积分,上述条件等式应当分别......
2023-10-30
柯西积分公式的应用-复变函数及其应用
【摘要】：设D为一单连通域,z0为D中的一点.若f(z)在D内解析,那么函数在z0点不解析.下面考虑D内围绕z0的简单闭曲线C上积分的计算.根据闭路变形原理,该积分值等于沿任何一条围绕z0的简单闭曲线上的积分.既然沿围绕z0的任何简单闭曲线积分值都相同.那么我们就取以z0为中心,半径为δ的圆周|z-z0| = δ(取其正向)作为积分曲线C.由于f(z)的连续性,在C上的函数f(z)的值将随着δ的缩小而逐渐接
设D为一单连通域,z0为D中的一点.若f(z)在D内解析,那么函数
在z0点不解析.下面考虑D内围绕z0的简单闭曲线C上积分
的计算.根据闭路变形原理,该积分值等于沿任何一条围绕z0的简单闭曲线上的积分.既然沿围绕z0的任何简单闭曲线积分值都相同.那么我们就取以z0为中心,半径为δ的圆周|z-z0| = δ(取其正向)作为积分曲线C.由于f(z)的连续性,在C上的函数f(z)的值将随着δ的缩小而逐渐接近于它在圆心z0处的值,从而使我们猜想积分
的值也将随着δ 的缩小而逐渐接近于
即
我们有下面的定理：
定理1(柯西积分公式) 若f(z)在区域D内处处解析,C为D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z0为C内的任一点,那么
证明 取ρ充分小,在D内作正向圆周Cρ : |z -z0| = ρ,使Cρ及内部完全位于D内(图3.10),由于f(z)在z0连续,任意给定ε ＞0,存在δ ＞0,当|z-z0|＜δ时,有
于是由式(3.1.4)和积分的估值定理得
从而有
根据闭路变形原理,该积分值与ρ无关,从而有
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在定理1中,区域D是单连通域或多连通域均可,但积分曲线C及内部必须完全位于D内,因此该定理也可叙述为：
若f(z)在简单闭曲线所围成的区域内及C上解析,那么柯西积分公式(3.4.1)仍然成立.
公式(3.4.1)把一个函数在曲线C内部任一点的值用它在边界上的值来表示.也就是说若f(z)在区域边界上的值一经确定,那么它在区域内部任一点处的值也就确定.这是解析函数的又一特征.柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式,是研究某些解析函数的有力工具.
若C是圆周z =z0+Reiθ,那么式(3.4.1)成为
这就是说,一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.
例1 计算积分
其中C 为正向圆周|z|=4.
解 根据柯西积分公式,得
例2 计算积分
其中C为正向圆周|z|=3.
解 如图3.11所示,分别以z =i和z =-i 为圆心作两个小圆周C1和C2,
则
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2023-10-30
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2023-10-30
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2023-10-30
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2023-10-30
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