设D为一单连通域,z0为D中的一点.若f(z)在D内解析,那么函数在z0点不解析.下面考虑D内围绕z0的简单闭曲线C上积分的计算.根据闭路变形原理,该积分值等于沿任何一条围绕z0的简单闭曲线上的积分.既然沿围绕z0的任何简单闭曲线积分值都相同.那么我们就取以z0为中心,半径为δ的圆周|z-z0| = δ(取其正向)作为积分曲线C.由于f(z)的连续性,在C上的函数f(z)的值将随着δ的缩小而逐渐接......
2023-10-30
柯西积分定理在复变函数应用中的成果
【摘要】：由上一节复积分与实积分的关系式(3.1.2)可以看出,该复积分与路径无关的充要条件是其右端的两个对坐标的曲线积分都与路径无关.而平面上的曲线积分与路径无关的充要条件为:若函数P(x,y)和Q(x,y)在单连通域D内具有一阶连续偏导数,L为D内分段光滑的曲线,则曲线积分在D内与路径无关(或沿D内任意闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是等式在D内恒成立.对于式右端的两个曲线积分,上述条件等式应当分别
由上一节复积分与实积分的关系式(3.1.2)可以看出,该复积分与路径无关的充要条件是其右端的两个对坐标的曲线积分都与路径无关.而平面上的曲线积分与路径无关的充要条件为:
若函数P(x,y)和Q(x,y)在单连通域D内具有一阶连续偏导数,L为D内分段光滑的曲线,则曲线积分
在D内与路径无关(或沿D内任意闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是等式
在D内恒成立.
对于式
右端的两个曲线积分,上述条件等式应当分别为
这是函数f(z)在单连通域D解析的充要条件(C-R方程),那么f(z)在上述区域D内解析是否能保证它沿D内的任意简单闭路的积分为零呢?回答是肯定的,因为有下面的定理:
定理1(柯西积分定理) 若函数f(z)在简单闭曲线C上及其内部解析,则一定有
该定理的证明很麻烦,故从略.但若加附加条件“f′(z)在D内连续”,可简单证明如下:(www.chuimin.cn)
令f(z)=u(x,y)+iv(x,y),则有
由于f′(z)在D内连续,因此ux,uy,vx,vy在D 内连续,并且满足C-R 方程
由于平面上曲线积分与路径无关的充要条件是等式(3.2.1) 成立,从而有
所以
例1 计算积分
解 当|z|≤1时,由于
因此,函数z2+3z+5在单位圆周上及其内部无零点,从而被积函数在|z| =1及其内部解析,由柯西积分定理得
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柯西黎曼条件:复变函数与应用详细阅读
并求出其导数.解 由u(x,y)=x2+axy+by2,v(x,y)=cx2+dxy+y2得这四个偏导数都处处连续,所以u(x,y)与v(x,y)都处处可微,要使得f解析,只要u(x,y),v(x,y) 满足C-R条件,即成立，即因此,当a=2,b=-1,c=-1,d=2时,f在复平面内处处解析.f的导数为......
2023-10-30
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泰勒定理|复变函数应用详细阅读
对于一元实函数来说,若f(x)在点x0的某邻域内有任意阶的导数,并且在该邻域内恒有余项则f(x)在点x0的该邻域内的泰勒(Taylor)级数展开式为复变函数中,函数f(x)在点z0的某邻域内有任意阶导数等价于它在该邻域内解析,对于解析函数有下面的展开定理.定理1(泰勒级数展开定理) 若函数f(z) 在圆形区域D:|z-z0| ＜R内解析,则它在D内可展开为幂级数其中 若C为D内绕z0 的正向简单闭......
2023-10-30
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复变函数中的傅里叶积分公式详细阅读
定理1(傅氏积分定理) 若函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且满足(1)在任一有限区间上满足狄利克雷条件,即在任意区间内满足: 连续或只有有限个第一类间断点; 只有有限个极值点;(2)在无限区间(-∞,+∞)内绝对可积(即积分收敛),则在f(x)的连续点上有成立,而左端的f(t)在它的间断点t处,应以来代替.这个定理称为傅里叶积分定理,简称为傅氏积分定理,其中所列的条件是充分的,它的证明需要用......
2023-10-30
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形如的积分：复变函数及其应用详细阅读
定理2 设f(z)在实轴上解析,在上半平面Imz ＞0除有限个奇点z1,z2,··· ,zn 外解析.若存在正数r,M 和α ＞1,使当|z| ≥r 且Imz ≥0 时f(z)解析且满足|f(z)|≤M/|z|α,则积分I2 =存在且有证明设CR为上半圆周z = Reiθ(0 ≤θ ≤π),取充分大的R 使R ≥r并且奇点z1,z2,··· ,zn均在由CR及实轴上从-R 到R 的一段所围成的闭路......
2023-10-30
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复变函数及其应用：形如的积分探讨详细阅读
定理3 设函数f(z)在实轴上无奇点,且在上半平面除有限个奇点z1,z2,··· ,zn外解析,若存在正数M和r,使当|z|≥r且Imz ≥0 时,函数f(z)解析且有则有证明 设CR为上半圆周: z = Reiθ(0 ≤θ ≤π),取充分大的R使R ≥r,并且奇点z1,z2,··· ,zn均在由CR 及实轴上从-R到R的一段所围成的半圆内,则由留数定理得只须证明当R →+∞时,上述沿CR 的积分......
2023-10-30
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复积分在复变函数中的定义详细阅读
设C为平面上给定的一条光滑(或逐段光滑)曲线,则沿曲线C有两个方向,若选定其中的一个方向作为正方向,则称曲线C为有向曲线.设曲线C有两个端点A与B,若把从A到B的方向作为曲线C的正方向,则从B到A的方向就是C的负方向,记作C-.对于简单闭曲线,其正方向是指曲线上的点P沿此方向在该曲线前进时,邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方,与之相反的方向就是曲线的负方向，而当曲线C为圆周时,逆时针方向就是曲线......
2023-10-30
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洛朗级数展开定理、复变函数及应用详细阅读
在圆环域R1 ＜|z-z0|＜R2内处处解析的函数f(z)可以展开成z-z0的正、负幂项都有的级数,称为f(z)的洛朗(Laurent) 级数.定理1(洛朗级数展开定理) 设R1 ＜|z - z0| ＜R2 为环域D,函数f(z)在D内解析,则对D 内任意点z有其中C为在该环域内任意一条围绕点z0的正向简单闭路.证明对任意z ∈D,在D内分别作正向圆周C1 和C2,其中C1为|ζ-z0|=r1,C......
2023-10-30
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