定理2 设f(z)在实轴上解析,在上半平面Imz ＞0除有限个奇点z1,z2,··· ,zn 外解析.若存在正数r,M 和α ＞1,使当|z| ≥r 且Imz ≥0 时f(z)解析且满足|f(z)|≤M/|z|α,则积分I2 =存在且有证明设CR为上半圆周z = Reiθ(0 ≤θ ≤π),取充分大的R 使R ≥r并且奇点z1,z2,··· ,zn均在由CR及实轴上从-R 到R 的一段所围成的闭路......
2023-10-30
复积分基本性质详解-复变函数及其应用
【摘要】：从复积分的定义,可以推得复积分具有下列基本性质,它们与实变函数中定积分的性质类似.若复变函数f(z)和g(z)沿其积分路径C可积,则有1° f(z)±g(z)沿C可积,且有2° 对任意复数A=a+ib,函数Af(z)沿C可积,有3° f(z)沿C的反向曲线C-可积,且有4° (复积分对积分路径的可加性)若函数f(z)沿曲线Ck(k =1,2,··· ,n)可积,且C 由Ck依次连接而成,则f(z)
从复积分的定义,可以推得复积分具有下列基本性质,它们与实变函数中定积分的性质类似.
若复变函数f(z)和g(z)沿其积分路径C可积,则有
1° f(z)±g(z)沿C可积,且有
2° 对任意复数A=a+ib,函数Af(z)沿C可积,有3° f(z)沿C的反向曲线C-可积,且有
4° (复积分对积分路径的可加性)若函数f(z)沿曲线Ck(k =1,2,··· ,n)可积,且C 由Ck依次连接而成,则f(z)沿C可积,且有
5° (积分的估值性质) 若曲线C的长为L,f(z)沿C可积且在C上处处有|f(z)|≤M,则有
证明 性质1° ～4°可由复积分的定义直接证得,下面只证性质5°.
事实上,△zk是zk与zk-1两点之间的距离,△sk为这两点之间的弧段长度,所以
两端取极限,得
这里
表示连续函数|f(z)|(非负的)沿C的实曲线积分,又由所以
虽然复积分与实变函数中实积分有许多相似的性质,但也有不同的性质,例如实变函数中的积分中值定理在复积分中并不成立.反例如下,复积分(www.chuimin.cn)
而对任意的ζ(0 ＜ζ ＜2π),均有eiζ(2π-0)
0,因此不存在ζ使
成立.
例2 试证
证明 利用性质5°,得
例3 计算
其中C(图3.3)为:
(1)沿从原点到点z0 =1+i的直线段C1 :z =(1+i)t,0 ≤t ≤1;
(2)沿从原点到点z1 = 1的直线段C2 : z = t,0 ≤t ≤1,与从z1到z0的直线段C3 :z =1+it,0 ≤t ≤1所接成的折线.
解 (1)
(2)
从这个例子可以看出,函数f(z)=
从原点到点z0 =1+i的积分与所选取的积分路径有关.在本章的下一节,我们将讨论在什么条件下复变函数的积分与路径无关.
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2023-10-30
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2023-10-30
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