使用下面的定理,我们可以利用留数计算复积分.定理1(留数定理) 若函数f(z)在正向简单闭曲线C上处处解析,在C 的内部除有限个孤立奇点z1,z2,··· ,zn外解析,则有证明 在C的内部围绕每个奇点zk作互不包含的正向小圆周Ck,k =1,2,··· ,n(图5.1),根据复合闭路定理有由留数的定义从而有利用留数定理,求沿封闭曲线C的积分,就转化为求被积函数在C 中的各孤立奇点处的留数.例4......
2023-10-30
复积分计算公式及条件
【摘要】：下面讨论积分式(3.1.1)在什么条件下存在.函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内处处连续,则u(x,y)及v(x,y)均为D内的连续函数.设ζk =ξk+iηk,由于因此由于u,v都是连续函数,根据线积分的存在定理可知,当弧段长度的最大值趋于零时,不论对C的分法如何,点(ξk,ηk) 的取法如何,上式右端的两个和式的极限都是存在的.因此有为便于记忆,公式(3.1.2)在形式上可以看作
下面讨论积分式(3.1.1)在什么条件下存在.
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内处处连续,则u(x,y)及v(x,y)均为D内的连续函数.设ζk =ξk+iηk,由于
因此
由于u,v都是连续函数,根据线积分的存在定理可知,当弧段长度的最大值趋于零时,不论对C的分法如何,点(ξk,ηk) 的取法如何,上式右端的两个和式的极限都是存在的.因此有
为便于记忆,公式(3.1.2)在形式上可以看作f(z) = u+iv与dz = dx+idy相乘后求积分得到,即
我们有下面结论:
定理(复积分存在的充分条件) 若C为光滑或逐段光滑的有向曲线段,f(z) 在C 上处处连续,则f(z)沿C 可积.
利用公式(3.1.2)可以计算函数f(z)沿曲线C的积分,可是需要计算两个二元实函数对坐标的曲线积分,通常很麻烦.下面对曲线C 为光滑曲线的情形,将该公式化为更简单的形式.
若C为有向光滑曲线,其参数方程为z =z(t)=x(t)+iy(t)(α ≤t ≤β),则z′(t)=x′(t)+iy′(t) 在区间[α,β]上连续且不等于零.
根据线积分的计算方法,有
上式右端可以写成
(www.chuimin.cn)
所以
用公式(3.1.3)来计算复积分比较简便,该式可看作一般复积分的计算公式.
例1 设C为正向圆周|z-z0|=r(r ＞0),n为正整数,试证:
证明 C的方程写作z =z0+reiθ,0 ≤θ ＜2π(图3.2),所以
当n=0时得
当n
0时得
因此
式(3.1.4)以后经常用到,可作为积分公式来使用,它的特点是积分值与积分路线圆周的中心和半径无关.
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2023-10-30
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2023-06-24
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2023-10-27
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2023-10-30
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2023-11-22
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