在第一节中我们知道,复数与平面内的点或向量建立了一一对应关系,所以我们对复数、平面内的点和向量不加区别.除此之外,复数也可与球面上的点一一对应,并用球面上的点来表示,具体做法如下：取一个球面,使之与复平面z相切于原点,球面上的一点S与原点重合,如(图1-5).通过点S作一条垂直于复平面的直线与球面交于另一点N,我们称N为北极,S为南极.对于复平面内任何一点z,现在用直线段将点z与北极N连接起来,那......
2023-10-30
复积分在复变函数中的定义
【摘要】：设C为平面上给定的一条光滑(或逐段光滑)曲线,则沿曲线C有两个方向,若选定其中的一个方向作为正方向,则称曲线C为有向曲线.设曲线C有两个端点A与B,若把从A到B的方向作为曲线C的正方向,则从B到A的方向就是C的负方向,记作C-.对于简单闭曲线,其正方向是指曲线上的点P沿此方向在该曲线前进时,邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方,与之相反的方向就是曲线的负方向，而当曲线C为圆周时,逆时针方向就是曲线
设C为平面上给定的一条光滑(或逐段光滑)曲线,则沿曲线C有两个方向,若选定其中的一个方向作为正方向,则称曲线C为有向曲线.设曲线C有两个端点A与B,若把从A到B的方向作为曲线C的正方向,则从B到A的方向就是C的负方向,记作C-.对于简单闭曲线,其正方向是指曲线上的点P沿此方向在该曲线前进时,邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方,与之相反的方向就是曲线的负方向，而当曲线C为圆周时,逆时针方向就是曲线的正方向,顺时针方向为曲线的负方向.
复积分与一元实函数的定积分在定义的叙述上非常类似.
定义 设函数w = f(z)定义在区域D内,C为在区域D内起点为A,终点为B的一条光滑的有向曲线,把曲线C任意分成n个弧段,记分点为在每个弧段
上任意取一点ζk(图3.1),并记作和式
A=z0,z1,z2,··· ,zn =B
(www.chuimin.cn)
这里△zk =zk-zk-1.记
的长度,
当λ趋于零时,如果对C的任意分法及ζk的任意取法,Sn有唯一极限,那么称这极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分,记作
若C为闭曲线,则沿此闭曲线的积分记作
由定义可以看出,当C是x轴上的区间a ≤x ≤b,而f(z)=f(x)时,这个定义就是一元实变函数定积分的定义.
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2023-10-30
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2023-10-30
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2023-10-30
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如果是极点,指出它的级.解 令ζ = 则由于g(ζ)在ζ = 0解析且g 0,所以ζ = 0是的简单极点,因此z = ∞是f 的简单极点.......
2023-10-30
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复变函数中的傅里叶积分公式详细阅读
定理1(傅氏积分定理) 若函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且满足(1)在任一有限区间上满足狄利克雷条件,即在任意区间内满足: 连续或只有有限个第一类间断点; 只有有限个极值点;(2)在无限区间(-∞,+∞)内绝对可积(即积分收敛),则在f(x)的连续点上有成立,而左端的f(t)在它的间断点t处,应以来代替.这个定理称为傅里叶积分定理,简称为傅氏积分定理,其中所列的条件是充分的,它的证明需要用......
2023-10-30
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从上节例2可知,f(z)=ex(cos y+i sin y)在整个复平面上解析,且f′(z)=f(z).容易验证f(z1+z2) =f(z1)+f(z2),据此我们给出复变指数函数的定义.定义1 对任意的复数z =x+iy,定义指数函数为w =ex(cos y+i sin y),记作ez.显然,|ez|=ex ＞0,而Arg(ez)=y+2kπ(k为整数),从而ez 0.当z 取实数,即y = 0......
2023-10-30
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2023-10-30
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