复变函数导数的定义在形式上与一元实变函数一致.定义1 设函数w = f(z)在点z0的某个邻域内有定义,且z0+△z是该邻域中的点,如果极限存在,我们称f(z)在点z0处可导(或可微),并称此极限值为f(z)在z0 点处的导数,记作若函数w = f(z)在点z0可导,导数为f′(z0),那么对于任意给定的ε ＞0,相应地存在δ(ε)＞0,使得当0 ＜|△z|＜δ时,有若函数w =f(z)在区域D内......
2023-10-30
幂函数的规定及性质-复变函数及其应用
【摘要】：定义3 设α是任意一个复数,定义幂函数为w =zα =eαLnz(z 0).在α为正实数时,对z =0的情况进行规定：zα =0.幂函数是指数函数与对数函数的复合函数,根据对数函数的定义,有w =zα =eαLnz =eα(ln z+2kπi) =eα ln z·e2αkπi,(k为整数)由于Lnz = ln z+2kπi是多值的,所以w = zα也是多值的,且所取的不同数值的个数等于e2αkπi
定义3 设α是任意一个复数,定义幂函数为
w =zα =eαLnz(z 
0).
在α为正实数时,对z =0的情况进行规定：zα =0.幂函数是指数函数与对数函数的复合函数,根据对数函数的定义,有
w =zα =eαLnz =eα(ln z+2kπi) =eα ln z·e2αkπi,(k为整数)
由于Lnz = ln z+2kπi是多值的,所以w = zα也是多值的,且所取的不同数值的个数等于e2αkπi 所取的不同数值的个数.当α取不同的值时,幂函数有以下几种情形：
(1) 当α=n为正整数时,w =zα =zn 是单值函数.
(2) 当α=-n(n为正整数)时,w =zα =
也是单值函数.
(3) 当
(n为正整数)时,w =zα = 
是根式函数,且(www.chuimin.cn)
它在k =0,1,··· ,n-1时取不同的值,是具有n个分支的多值函数.
(4) 当α = 
(m和n为互质的整数,n ＞0)时,zα = 
它在k =0,1,··· ,n-1 时取不同的值,是具有n个分支的多值函数.
(5) 当α是无理数或复数时,w =zα是无穷多值的,且
下面讨论幂函数的解析性.
由于对数函数Lnz的每个单值分支在除去原点与负实轴的z平面内是解析的,所以幂函数w =zα 的每个单值分支在除去原点与负实轴的z平面内也是解析的,并且
例4 计算
和(1+i)i的值.
解
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2023-10-30
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2023-10-30
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2023-10-30
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2023-10-30
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复变函数及其应用：形如的积分探讨详细阅读
定理3 设函数f(z)在实轴上无奇点,且在上半平面除有限个奇点z1,z2,··· ,zn外解析,若存在正数M和r,使当|z|≥r且Imz ≥0 时,函数f(z)解析且有则有证明 设CR为上半圆周: z = Reiθ(0 ≤θ ≤π),取充分大的R使R ≥r,并且奇点z1,z2,··· ,zn均在由CR 及实轴上从-R到R的一段所围成的半圆内,则由留数定理得只须证明当R →+∞时,上述沿CR 的积分......
2023-10-30
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2023-10-30
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2023-10-30
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