所谓完全平方数，就是指这个数是某个整数的平方。也就是说一个数如果是另一个整数的平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫作平方数。
例如
观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：
性质1：完全平方数的末位数只能是1、4、5、6、9或者00。
换句话说，一个数字如果以2、3、7、8或者单个0结尾，那这个数一定不是完全平方数。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，偶数的平方的个位数字一定是偶数。
证明：
奇数必为下列五种形式之一：
10a＋1，10a＋3，10a＋5，10a＋7，10a＋9。
分别平方后，得：
（10a＋1）2=100a2＋20a＋1=20a（5a＋1）＋1
（10a＋3）2=100a2＋60a＋9=20a（5a＋3）＋9
（10a＋5）2=100a2＋100a＋25=20（5a＋5a＋1）＋5
（10a＋7）2=100a2＋140a＋49=20（5a＋7a＋2）＋9
（10a＋9）2=100a2＋180a＋81=20（5a＋9a＋4）＋1
综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1、5、9；十位数字为偶数。
同理可证明偶数的平方的个位数一定是偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为（2k＋1）2=4k（k＋1）＋1
（2k）2=4k2
性质5：奇数的平方是8n＋1型；偶数的平方为8n或8n＋4型。
在性质4的证明中，由k（k＋1）一定为偶数可得到（2k＋1）2是8n＋1型的数；由为奇数或偶数可得（2k）2为8n型或8n＋4型的数。
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k、3k＋1。
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m、3m＋1、3m＋2。平方后，分别得：
（3m）2=9m2=3k
（3m＋1）2=9m2＋6m＋1=3k＋1
（3m＋2）2=9m2＋12m＋4=3k＋1
性质7：不是5的因数或倍数的数的平方为5k＋/-1型，是5的因数或倍数的数为5k型。
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m、16m＋1、16m＋4、16m＋9。
记住完全平方数的这些性质有利于我们判断一个数是不是完全平方数。为此，我们要记住以下结论：
（1）个位数是2、3、7、8的整数一定不是完全平方数。
（2）个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数。
（3）个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数。
（4）形如3n＋2型的整数一定不是完全平方数。
（5）形如4n＋2和4n＋3型的整数一定不是完全平方数。
（6）形如5n±2型的整数一定不是完全平方数。
（7）形如8n＋2、8n＋3、8n＋5、8n＋6、8n＋7型的整数一定不是完全平方数。
除此之外，要找出一个完全平方数的平方根，还要弄清以下两个问题：
（1）如果一个完全平方数的位数为n，那么，它的平方根的位数为n/2或（n＋1）/2。
（2）记住对应数。只有了解这些对应数，才能找到平方根。
方法
（1）先根据被开方数的位数计算出结果的位数。
（2）将被开方数的各位数字分成若干组（如果位数为奇数，则每个数字各成一组；如位数为偶数，则前两位为一组，其余数字各成一组）。
（3）看第一组数字最接近哪个数的平方，找出答案的第一位数（答案第一位数的平方一定要不大于第一组数字）。
（4）将第一组数字减去答案第一位数字的平方所得的差，与第二组数字组成的数字作为被除数，答案的第一位数字的2倍作为除数，所得的商为答案的第二位数字，余数则与下一组数字作为下一步计算之用（如果被开方数的位数不超过4位，到这一步即可结束。）。
（5）将上一步所得的数字减去答案第二位数字的对应数（如果结果为负数，则将上一步中得到的商的第二位数字减一重新计算），所得的差作为被除数，依然以答案的第一位数字的2倍作为除数，商即为答案的第三位数字（如果被开方数为5位或6位，则会用到此步。7位以上过于复杂我们暂且忽略。）。(www.chuimin.cn)
例子
（1）计算2116的平方根。
因为被开方数为4位，根据前面的公式：
平方根的位数应该为4÷2=2位
因为位数为4，偶数，所以前两位分为一组，其余数字各成一组：
分组得：21 1 6
找出答案的第一位数字：42=16最接近21，所以答案的第一位数字为4。
将4写在与21对应的下面，21-42=5，写在21的右下方，与第二组数字1构成被除数51。4×2=8为除数写在最左侧。得到下图：
51÷8=6余3，把6写在第二组数字1下面对应的位置，作为第二位的数字。余数3写在第二组数字1的右下方。而36-62=0
这样就得到了答案，即2116的平方根为46。
（2）计算9604的平方根。
因为被开方数为4位，根据前面的公式：
平方根的位数应该为4÷2=2位
因为位数为4，偶数，所以前两位分为一组，其余数字各成一组：
分组得：96 0 4
找出答案的第一位数字：92=81最接近96，所以答案的第一位数字为9。
将9写在与96对应的下面，96-92=15，写在96的右下方，与第二组数字0构成被除数51。9×2=18为除数写在最左侧。得到下图：
150÷18=8余6，把8写在第二组数字0下面对应的位置，作为第二位的数字。余数6写在第二组数字0的右下方。而64-82=0。
这样就得到了答案，即9604的平方根为98。
（3）计算18496的平方根。
因为被开方数为5位，根据前面的公式：
平方根的位数应该为（5＋1）÷2=3位
因为位数为5，奇数，所以每个数字各成一组：
分组得：1 8 4 9 6
找出答案的第一位数字：12=1最接近1，所以答案的第一位数字为1。
将1写在与第一组数字1对应的下面，1-12=0，写在1的右下方，与第二组数字8构成被除数8。1×2=2为除数写在最左侧。得到下图：
8÷2=4余0，把4写在第二组数字8下面对应的位置，作为第二位的数字。余数0写在第二组数字8的右下方。
因为答案第二位的对应数为42=16，4-16为负数，所以将上一步得到的答案第二位改为3。变为下图：
减去对应数后，24-32=15，15除以除数2等于7。
此时发现19减去37的对应数依然是负数，所以将上一位的7改为6。此时减去对应数后才不是负数。
这样就得到了答案，即18496的平方根为136。
（4）计算729316的平方根。
因为被开方数为6位，根据前面的公式：
平方根的位数应该为6÷2=3位
因为位数为6，偶数，所以前两位为一组，其余数字各成一组：
分组得：72 9 3 1 6
找出答案的第一位数字：82=64最接近72，所以答案的第一位数字为8。
将8写在与第一组数字72对应的下面，72-82=8，写在72的右下方，与第二组数字9构成被除数89。8×2=16为除数写在最左侧。得到下图：
89÷16=5余9，把5写在第二组数字9下面对应的位置，作为第二位的数字。余数9写在第二组数字9的右下方。
减去对应数后，93-52=68，68除以除数16等于4余4。
41减去54的对应数为1，为正数，所以就得到了答案，即729316的平方根为854。
练习
（1）计算3025的平方根
（2）计算676的平方根
（3）计算2209的平方根
（4）计算10404的平方根
（5）计算39601的平方根
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