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数理统计中常用分布总体与样本统计量的应用

2023-10-27 理论教育版权反馈

【摘要】：，Xn是来自总体X的容量为n的简单随机样本，简称样本，它的观察值x1，x2，…，Y9分别是来自相互独立总体X～N和Y～N的简单随机样本，求统计量所服从的分布.精解由于X1，X2，…

【主要内容】

1.总体与样本

在数理统计中，研究对象的某项数量指标值的全体称为总体，总体可用随机变量描述，该随机变量服从的分布称为总体分布.

设X是总体，如果X₁，X₂，…，X_n都是与X具有相同分布且互相独立的随机变量，则称X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的容量为n的简单随机样本，简称样本，它的观察值x₁，x₂，…，xn称为样本值.

如果总体X的分布函数为F（x），则样本X₁，X₂，…，X_n的联合分布函数为如果总体X是离散型随机变量，其分布律为P（X=x_k）=p_k（k=1，2，…），则样本X₁，X₂，…，X_n的联合分布律为P（X₁=x₁′）P（X₂=x₂′）…P（X_n=x_n′）=p₁′p₂′…p_n′，其中，x₁′，x₂′，…，x_n′∈{x₁，x2，…，x_n}，p1′=P（X₁=x1′），p2′=P（X₂=x₂′），…，p_n′=P（X_n=x_n′）；如果总体X的概率密度为f（x），则样本X₁，X₂，…，X_n的联合概率密度为

设X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的一个简单随机样本，g（t₁，t₂，…，t_n）是不含总体未知参数的n元函数，则称随机变量T=g（X₁，X₂，…，X_n）是样本X₁，X₂，…，X_n的一个统计量，设x₁，x₂，…，x_n是样本X₁，X₂，…，X_n的观察值，则称函数值g（x₁，x₂，…，xn）为统计量T的观察值.

2.样本的数字特征

设X₁，X₂，…，X_n是总体X（EX=μ，DX=σ²）的一个简单随机样本，其观察值为x₁，x₂，…，xn.

（1）样本均值X

样本均值的数学期望，方差，且

当X～N（μ，σ²）时，

样本均值的观察值

（2）样本方差

样本方差S²的计算公式：

样本方差S²的数学期望ES²=σ².

样本标准差

样本方差观察值

样本标准差观察值

（3）样本k阶原点矩

显然，；，EA₂=σ²+_μ².

样本k阶原点矩观察值

（4）样本k阶中心矩

特别称

为样本的修正方差，显然

样本k阶中心矩观察值

3.数理统计中的常用分布

（1）标准正态分布

参数_μ=0，σ²=1的正态分布称为标准正态分布，记为N（0，1）.

（ⅰ）设X～N（0，1），则EX=0，DX=1.

（ⅱ）设X～N（0，1），则X的概率密度，分布函数Φ（x）=显然，

当x<-3时，Φ（x）≈0；当x>3时，Φ（x）≈1.对任意实数x有Φ（-x）=1-Φ（x）.

（ⅲ）设X～N（0，1），则对α∈（0，1），称满足P（X>z_α）=α的实数z_α为标准正态分布的上α分位数，它满足z_1-α=-z_α.

（2）χ²分布

设X₁，X₂，…，X_n相互独立，且都服从标准正态分布，则称随机变量X=X₁²+X₂²+…+X_n²服从的分布为自由度为n的χ²分布，记为χ²（n）.

（ⅱ）设随机变量X～χ²（n），则EX=n，DX=2n.

（ⅲ）设随机变量X，Y相互独立，且X～χ²（n₁），Y～χ²（n₂），则X+Y～χ²（n1+n2）.

（ⅳ）设随机变量X～χ²（n），则对α∈（0，1），称满足P（X>χ²α（n））=α的实数χ²_α（n）为自由度为n的χ²分布的上α分位数.

（3）t分布设随机变量X～N（0，1），Y～χ²（n），并且X与Y相互独立，则称随机变量所服从的分布为自由度为n的t分布.

（ⅰ）设T～t（n），则随机变量T的概率密度f_n（t）是偶函数；

（ⅱ）设T～t（n），则当n充分大时T～N（0，1）.

（ⅲ）设T～t（n），则对α∈（0，1），称满足P（T>t_α（n））=α的实数t_α（n）为自由度为n的t分布的上α分位数，它满足t_1-α（n）=-t_α（n）.(www.chuimin.cn)

（4）F分布设随机变量U和V相互独立，且U～χ²（n₁），V～χ²（n₂），则称随机变量所服

从的分布为自由度为（n₁，n₂）的F分布，记为F（n₁，n₂）.

（ⅰ）设F～F（n₁，n₂），则

（ⅱ）设F～F（n₁，n₂），则对α∈（0，1），称满足P（F>F_α（n₁，n₂））=α的实数F_α（n₁，n2）为自由度为（n₁，n₂）的F分布的上α分位数，它满足

【典型例题】

例8.1.1 （单项选择题）设随机变量X和Y都服从N（0，1），则下列结论中正确的是（）.

A.X+Y服从正态分布

B.X²+Y²服从χ²分布

C.X²和Y²都服从χ²分布

D.服从F分布

精解由于X～N（0，1），所以X²～χ²（1），同样Y²～χ²（1），所以X²和Y²都服从χ²分布.

因此本题选C.

注由于X，Y未必相互独立，所以X+Y也未必服从正态分布，X²+Y²未必服从χ²分

布，未必服从F分布.

例8.1.2 （单项选择题）设随机变量X～t（n）（n>1），则～（）.

A.χ²（n） B.χ²（n-1） C.F（n，1） D.F（1，n）

精解由于X～t（n），所以由t分布的定义知存在相互独立的随机变量U～N（0，1），V～χ²（n），使得

于是（这是由于V与U²相互独立，V～χ²（n），U²～χ²（1））.因此本题选C.

例8.1.3 设总体X～π（λ），X₁，X₂，…，X_n是来自X的一个简单随机样本.

（1）写出X₁，X₂，…，X_n的联合分布律；

（2）记，求和ES².

精解（1）由于X的分布律为，所以X的简单随机样

本X₁，X₂，…，X_n的联合分布律为

其中，x₁，x₂，…，xn都是任意的非负整数.

（2）由于总体X的数学期望μ=EX=λ，方差σ²=DX=λ，所以

例8.1.4 设X₁，X₂，…，X₉和Y₁，Y₂，…，Y₉分别是来自相互独立总体X～N（0，3²）和Y～N（0，3²）的简单随机样本，求统计量

所服从的分布.

精解由于X₁，X₂，…，X₉是来自总体X～N（0，3²）的简单随机样本，所以

由于Y₁，Y₂，…，Y₉是来自Y～N（0，3²）的简单随机样本，所以，，…，相互独立且都

服从N（0，1），因此，此外，与相互独立.于是

由t分布的定义知

例8.1.5 从总体X～N（3.4，6²）中抽取容量为n的简单随机样本，如果要求该样本均值位于区间（1.4，5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n至少取多大？

精解由题设知样本均值，所以（Φ（x）是标准正态分布函数）

于是由题设得，即

由于Φ（1.96）=0.975，且Φ（x）是单调增加函数，所以由式（1）得，即n≥34.57.

因此，此样本容量至少应为35，才能使样本均值位于区间（1.4，5.4）之内的概率不小于0.95.

例8.1.6 设总体X～N（0，σ²），X₁，X₂，…，X₉是来自X的简单随机样本，是它的均值.确定σ的值，使得P（1<X<3）为最大.

精解由题设知所以是标准正态分布函数），

则F（σ）的定义域为（0，+∞），在其上可导，且由

知在处取最大值.