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随机变量的协方差与相关系数：考研数学知识点全解析

2023-10-27 理论教育版权反馈

【摘要】：【主要内容】1.随机变量协方差的定义与性质设（X，Y）是二维随机变量.如果E[（X-EX）（Y-EY）]存在，则称Cov（X，Y）=E[（X-EX）（Y-EY）]为X与Y的协方差.协方差有以下性质：设X，X1，X2，Y是随机变量，则（1）Cov（X，Y）=Cov（Y，X）；（2）Cov（X，c）=0（其中c是常数）；（3）Cov（c1X，c2Y）=c1c2Cov（X，Y）（其中，c1，c2是常数）

【主要内容】

1.随机变量协方差的定义与性质

设（X，Y）是二维随机变量.如果E[（X-EX）（Y-EY）]存在，则称Cov（X，Y）=E[（X-EX）（Y-EY）]为X与Y的协方差.

协方差有以下性质：设X，X₁，X₂，Y是随机变量，则

（1）Cov（X，Y）=Cov（Y，X）；

（2）Cov（X，c）=0（其中c是常数）；

（3）Cov（c₁X，c₂Y）=c₁c₂Cov（X，Y）（其中，c₁，c₂是常数）；

（4）Cov（X₁+X₂，Y）=Cov（X₁，Y）+Cov（X₂，Y）；

（5）当X与Y相互独立时，Cov（X，Y）=0；

（6）D（X±Y）=DX+DY±2Cov（X，Y）；

（7）Cov（X，Y）=E（XY）-EX·EY（协方差可以按定义计算，但在许多场合下按这个公式计算）.

2.随机变量相关系数的定义与性质设（X，Y）是二维随机变量，如果DX>0，DY>0，则称为X与Y的相关系数，相关系数ρ_XY有以下性质：

（1）ρ_XY≤1；

（2）ρ_XY=1的充分必要条件是存在常数a，b，使得P（Y=aX+b）=1，特别地，当ρ_XY=1时，称X与Y正相关，此时上述的a>0；当ρ_XY=-1时，称X与Y负相关，此时上述的a<0.

3.随机变量相关性的定义

设（X，Y）是二维随机变量.如果X与Y的相关系数ρ_XY=0，则称X与Y不相关；否则称为相关.

随机变量X与Y的相关性与独立性有以下的关系：

（1）当X与Y相互独立，且DX>0，DY>0时，X与Y不相关；

（2）当X与Y不相关时，X与Y未必相互独立；

（3）当X与Y不独立时，且DX>0，DY>0时，X与Y未必相关；

（4）当X与Y相关时，X与Y不独立.

特别地，当（X，Y）～N（μ₁，μ₂，σ²₁，σ²₂，ρ）时，X与Y的相关系数ρ_XY=ρ，并且

（1）X与Y不相关的充分必要条件是ρ=0；

（2）X与Y不相关与独立等价.

【典型例题】

例7.18.1（单项选择题）设随机变量X～N（0，1），Y～N（1，4），且X与Y的相关系数ρ_XY=1，则（）.

A.P（Y=-2X-1）=1 B.P（Y=-2X+1）=1

C.P（Y=2X-1）=1 D.P（Y=2X+1）=1

精解由ρ_XY=1知X与Y正相关，即Y=aX+b，使得P（Y=aX+b）=1，a>0.所以选项A和B都不能选.此外，对选项C，EY=E（2X-1）=-1，这与题设EY=1矛盾，所以选项C也不能选.

因此本题选D.(www.chuimin.cn)

例7.18.2 （单项选择题）设随机变量X，Y都服从正态分布，且它们不相关，则（）.

A.X与Y一定独立 B.（X，Y）服从二维正态分布

C.X与Y未必独立 D.X+Y服从正态分布

精解由X与Y都服从正态分布未必能推出（X，Y）服从二维正态分布，所以，虽然X与Y不相关，但X与Y未必独立.

因此本题选C.

例7.18.3 （单项选择题）将一枚硬币重复掷n次，用X和Y来分别表示正面向上和反面向上的次数，则X与Y的相关系数为（）.

A.B.0C.D.1

精解按相关系数的定义计算，即先算出DX，DY以及Cov（X，Y）.

由于X和Y都服从，其中Y=n-X，所以，

Cov（X，Y）=Cov（X，n-X）=-Cov（X，X）=-DX.

从而X与Y的相关系数为

因此本题选A.

例7.18.4 设随机变量X～N（1，3²），Y～N（0，2²），且X与Y的相关系数记，求X与Z的相关系数ρXZ.

精解按相关系数的定义计算，即先算出DX，DZ以及Cov（X，Z）.由于DX=9，DY=4，

所以，

例7.18.5 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

图 7.18.5

其中G={（x，y）0≤x≤2，0≤y≤x²}（如图7.18.5中的阴影部分所示），求Cov（X，Y）.

精解利用公式Cov（X，Y）=E（XY）-EX·EY计算Cov（X，Y），为此先算出EX，EY以及E（XY）.

分别记（X，Y）的关于X和关于Y的边缘概率密度为f_X（x），f_Y（y），则

所以，

此外，

于是