，n）为n元二次型.记aji=aij（i，j=1，2，…，xn）=xTAx.2.二次型化标准形的方法如果二次型中只含有变量的平方项，则称这种二次型为标准形.设二次型f（x1，x2，…，xn）T），则它有以下两种化标准形的方法：可逆线性变换法由于对实对称矩阵A，存在可逆矩阵C，使得，所以令x=Cy（可逆线性变换，其中，y=（y1，y2，…，xn）化为标准形d1y21+d2y22+…......
2023-10-27
随机变量方差与矩-基础篇全面复习与常考知识点解析
【摘要】：【主要内容】1.随机变量方差的定义与性质设X是随机变量，如果E（X-EX）2存在，则称DX=E（X-EX）2为X的方差，称D（X）为X的标准差.方差有以下性质.（1）Dc=0（其中，c是常数）；（2）D（cX）=c2DX，D（X+c）=DX（其中，c是常数）；（3）设随机变量X1与X2相互独立，则D（c1X1+c2X2）=c21DX1+c22DX2（其中，c1，c2是常数）；（4）DX=EX2-（
【主要内容】
设X是随机变量，如果E（X-EX）2存在，则称DX=E（X-EX）2为X的方差，称D（X）为X的标准差.方差有以下性质.
（1）Dc=0（其中，c是常数）；
（2）D（cX）=c2DX，D（X+c）=DX（其中，c是常数）；
（3）设随机变量X1与X2相互独立，则
D（c1X1+c2X2）=c21DX1+c22DX2（其中，c1，c2是常数）；
（4）DX=EX2-（EX）2.
注 方差DX可以用定义计算，但在许多场合下是按公式DX=EX2-（EX）2计算.此外利用这个公式也可以计算EX2，即EX2=DX+（EX）2.
2.常用随机变量的方差
设X服从0-1分布，则DX=p（1-p）.
设X～B（n，p），则DX=np（1-p）.
设X～π（λ），则DX=λ.
设X～U[a，b]，则
设X～E（λ），则
设X～N（μ，σ2），则DX=σ2.
3.随机变量矩
设X是随机变量.如果EXk存在，则称它是X的k阶矩，记为μk，即μk=EXk；如果E（X-EX）k存在，则称它是X的k阶中心矩，记为νk，其中k=1，2，….
显然μ1=EX，ν2=DX.
【典型例题】
例7.17.1 求方差
，其中随机变量的分布函数为
精解 X是离散型随机变量，先算出它的分布律，然后计算
和
由于F（x）的间断点为x=-1，0，1，所以X的分布律为
即
所以，
因此，
(www.chuimin.cn)
例7.17.2 设随机变量X与Y相互独立，X～E（4），Y～N（2，2），求E（3Y+X2-XY）和D（3Y+X2）.
精解 由随机变量数学期望的性质知
E（3Y+X2-XY）=3EY+EX2-E（XY）=3EY+DX+（EX）2-EX·EY，（1）
其中，
，
，EY=2.将它们代入式（1）得
D（3Y+X2）=D（3Y）+DX2 （由X与Y相互独立知X2与3Y也相互独立）
=9DY+EX4-（EX2）2，
其中，DY=2，
，（2）
将它们代入式（2）得
例7.17.3 设随机变量U在[-2，2]上服从均匀分布，记随机变量
求：（1）二维随机变量（X，Y）的分布律；
（2）方差D（X+Y）.
精解 （1）（X，Y）全部可能取的值为（-1，-1），（-1，1），（1，-1）和（1，1），并且对应的概率为
P（X=-1，Y=1）=P（U≤-1，U>1）=P（ ）=0，
P（X=-1，Y=-1）=P（U≤-1，U≤1）=P（U≤-1）=P（-2≤U≤-1），（1）
由于U在[-2，2]上服从均匀分布，而[-2，-1]的长度是[-2，2]的长度的
，所以
，将它代入式（1）得
，
同样，
，
因此（X，Y）的分布律可用表表示为
（2）D（X+Y）=E（（X+Y）2）-[E（X+Y）]2，（2）其中，由上述算得的（X，Y）的分布律可得
将它们代入式（2）得
D（X+Y）=2-02=2.
例7.17.4 设随机变量X的概率密度为
对X独立重复观察4次，用Y表示观察值大于
的次数，求EY2.
精解 Y～B（4，p），其中
，
所以
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2023-10-27
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2023-10-27
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2023-10-27
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2023-10-27
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2023-10-27
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