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2023-10-27
二维随机变量分布函数考研数学常考知识点解析
【摘要】：，Xn）是n维随机变量，则称F（x1，x2，…，Xn）的分布函数或X1，X2，…
【主要内容】
设（X，Y）是二维随机变量，则称二元函数F（x，y）=P（X≤x，Y≤y）是（X，Y）的分布函数，或x，y的联合分布函数.
二维随机变量分布函数F（x，y）有以下性质：
（1）0≤F（x，y）≤1，
（2）对任意x，y∈（-∞，+∞）有F（x，-∞）=F（-∞，y）=0，特别地，有F（-∞，-∞）=0，此外有F（+∞，+∞）=1，
（3）对任意固定的x，F（x，y）是关于y的单调不减函数；对任意固定的y，F（x，y）是关于x的单调不减函数.
（4）对任意固定的x，F（x，y）是关于y的右连续函数；对任意固定的y，F（x，y）是关于x的右连续函数.
（5）对任意实数x1，x2，y1，y2（其中，x1<x2，y1<y2），有
F（x2，y2）-F（x2，y1）-F（x1，y2）+F（x1，y1）≥0.
（6）当F（x，y）是二维连续型随机变量（X，Y）的分布函数时，它必是二元连续函数，且它与概率密度f（x，y）之间有以下关系.
，其中Dxy={（s，t）s≤x，t≤y}（-∞<x<+∞，-∞<y<+∞）.
2.二维随机变量的边缘分布函数
设二维随机变量（X，Y）的分布函数为F（x，y）（-∞<x<+∞，-∞<y<+∞），则分别称X，Y的分布函数FX（x），FY（y）为关于X的边缘分布函数和关于Y的边缘分布函数，其中
FX（x）=F（x，+∞）（-∞<x<+∞），FY（y）=F（+∞，y）（-∞<y<+∞）.
注 n维随机变量及其分布函数也可类似地定义.
设E是随机试验，则由定义在E的样本空间S上的随机变量X1，X2，…，Xn构成的有序对（X1，X2，…，Xn）称为n维随机变量.
设（X1，X2，…，Xn）是n维随机变量，则称
F（x1，x2，…，xn）=P（X1≤x1，X2≤x2，…，Xn≤xn）为n维随机变量（X1，X2，…，Xn）的分布函数或X1，X2，…，Xn的联合分布函数.
【典型例题】
例7.11.1 （单项选择题）设二维连续型随机变量（X，Y）的分布函数为
则概率P（Y≤X2）为（ ）.
A.
B.
C.
D.
其中Φ（t）是标准正态分布函数.
精解 记D={（x，y）y≤x2}，则
因此
应先算出（X，Y）的概率密度f（x，y）.
由于
所以，
因此本题选C.
例7.11.2 设二维随机变量（X，Y）的分布函数为
，
求：（1）常数A，B，C；(www.chuimin.cn)
（2）（X，Y）的概率密度f（x，y）；
（3）概率
精解 （1）由二维分布函数的性质知，A，B，C应满足下列方程组：
即
由式（3）知A≠0，因此由式（1）、式（2）得
，将它们代入式（3）得
（2）由（1）的计算知
从而
-∞<y<+∞）.
（3）由于关于X的边缘分布函数为
，
所以
例7.11.3 设事件A，B满足
，
.记随机变量
求二维随机变量（X，Y）的分布函数F（x，y）.
精解 （X，Y）是二维离散型随机变量，因此先算出它的分布律，再计算分布函数F（x，y）.由题设P（BA）=P（AB）可得P（B）=P（A）.
图 7.11.3
（X，Y）全部可能取的值为（0，0），（0，1），（1，0）以及（1，1）（如图7.11.3所示），并且
所以，（X，Y）的分布律为
于是由图7.11.3可得（X，Y）的分布函数为
例7.11.4 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
求（X，Y）的分布函数F（x，y）.
精解 f（x，y）在正方形区域G={（u，v）0≤u≤1，0≤v≤1}（如图7.11.4阴影部分所示）上取值为4uv，在uOv平面的其他部分取值都为零.
图 7.11.4
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2023-10-27
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