1.单项选择题（1）D （2）B （3）B （4）D （5）C （6）D （7）A （8）B （9）D （10）C （11）B （12）A （13）C （14）B （15）C （16）B （17）A （18）D （19）B （20）D （21）B （22）D （23）D2.解答题（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）由得（8）由于所以（9）由于所以，x→0时，α（x）是x的三阶无穷小.（10）......
2025-09-30
2015考研数学基础篇-二维连续型随机变量概率密度解析
【摘要】：【主要内容】1.二维连续型随机变量及其概率密度的定义设（X，Y）是二维随机变量，如果存在非负可积函数f（x，y）（-∞
【主要内容】
1.二维连续型随机变量及其概率密度的定义
设（X，Y）是二维随机变量，如果存在非负可积函数f（x，y）（-∞<x<+∞，-∞<y<+∞），使得xOy平面上的任意区域G，有
，
则称（X，Y）是二维连续型随机变量，称f（x，y）为（X，Y）的概率密度，或X、Y的联合概率密度，其中f（x，y）有以下性质：
（1）f（x，y）非负可积；
（2）
xOy平面
2.常用的二维连续型随机变量
（1）在区域G上服从均匀分布的二维随机变量设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
，（其中，A是G的面积且A≠0），则称（X，Y）是在区域G上服从均匀分布的二维随机变量，简称（X，Y）在G上服从均匀分布.
（2）服从正态分布的二维随机变量
设二维随机变量的概率密度为
（-∞<x<+∞，-∞<y<+∞），则称（X，Y）是服从参数为μ1，μ2，σ21，σ22，ρ（其中μ1，μ2是实数，σ1，σ2为正数，ρ<1）的正态分布的二维随机变量，简称（X，Y）服从参数为μ1，μ2，σ21，σ22，ρ的正态分布，记为（X，Y）～N（μ1，μ2，σ21，σ22，ρ）.
3.二维连续型随机变量的边缘概率密度
设（X，Y）是二维连续型随机变量，概率密度为f（x，y）（-∞<x<+∞，-∞<y<+∞），则分别称X，Y的概率密度fX（x），fY（y）为（X，Y）关于X和关于Y的边缘概率密度，其中
4.二维连续型随机变量的条件概率密度
设（X，Y）是连续型随机变量，它的概率密度、边缘概率密度分别为f（x，y），fX（x）与fY（y）（-∞<x<+∞，-∞<y<+∞），则
当y满足fY（y）>0时，称
为在条件Y=y下X的
条件概率密度；
当x满足fX（x）>0时，称
为在条件X=x下Y的
条件概率密度.
【典型例题】
例7.10.1 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
求（X，Y）的边缘概率密度fX（x）与fY（y）.
精解 先画出f（x，y）的值在xOy平面上的分布图，然后按边缘概率密度计算公式计算fX（x）与fY（y）.
f（x，y）在如图7.10.1所示的带阴影的△OAB内取值为1，在xOy平面的其余部分都取值为零.
图 7.10.1(https://www.chuimin.cn)
由图可知，关于X的边缘概率密度为
同样，由图可知，关于Y的边缘概率密度为
例7.10.2 设二维随机变量（X，Y）在如图7.10.2阴影部分所示的区域D={（x，y）y≤x<2-y，0≤y≤1}上服从均匀分布，求：
（1）（X，Y）的关于X和关于Y的边缘概率密度fX（x）和fY（y）；
（2）概率P（2X+Y≤2）.
图 7.10.2
精解 （1）先写出（X，Y）的概率密度f（x，y）的表达式，然后根据边缘概率密度计算公式计算fX（x）与fY（y）.
，所以（X，Y）的概率密度
由此由边缘概率密度计算公式可得
（2）
例7.10.3 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
求常数A及条件概率密度fYX（yx）.
精解 先算出关于X的边缘概率密度fX（x），然后利用概率密度的性质算出常数A并利用条件概率密度计算公式算出fYX（yx）.
由于关于X的边缘概率密度
（这是由于
是服从
的随机变
量的概率密度，所以
其中，由常数A满足
，即
得
，并且
，
由于，fX（x）≠0（-∞<x<+∞），所以对任意x∈（-∞，+∞）有
例7.10.4 设随机变量X在（0，1）内服从均匀分布，在X=x（0<x<1）的条件下，随机变量Y在（0，x）内服从均匀分布，求二维随机变量（X，Y）的概率密度f（x，y）.精解 X的概率密度为
，显然对任意x∈（0，1），fX（x）≠0.
此外，在X=x（0<x<1）的条件下随机变量在区间（0，x）内服从均匀分布，实际上给
出条件概率密度
所以，
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