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随机变量函数的分布，全面复习与常考知识点解析

2023-10-27 理论教育版权反馈

【摘要】：设随机变量X的分布已知，则称X的函数Y=g的分布为（一元）随机变量函数的分布.1.离散型情形设X是离散型随机变量，其分布律为则 Y=g的分布律可按以下步骤计算：计算Y全部可能取的值g，g，…，g，有相同的只取其中一个，然后将它们由小到大排列，记为y1，y2，…，k）都作同样处理，就可确定Y取y1，y2，…

【主要内容】

设随机变量X的分布（分布函数，分布律或概率密度）已知，则称X的函数Y=g（X）（其中y=g（x）是已知函数）的分布为（一元）随机变量函数的分布.

1.离散型情形

设X是离散型随机变量，其分布律（以X取有限个值为例）为

则 Y=g（X）的分布律可按以下步骤计算：

（1）计算Y全部可能取的值g（x₁），g（x₂），…，g（x_n），有相同的只取其中一个，然后将它们由小到大排列，记为y₁，y₂，…，y_k；

（2）计算Y取y₁，y₂，…，y_k各个值的概率：如果y₁只与g（x₁）相同，则P（Y=y₁）=p₁；如果y₁与g（x₁），g（x₂）都相同，则P（Y=y₁）=p₁+p₂.对每个y_i（i=1，2，…，k）都作同样处理，就可确定Y取y₁，y₂，…，y_k各个值的概率.

由此得到Y=g（X）的分布律，进一步还可得Y的分布函数F_Y（y）.

2.连续型情形

设X是连续型随机变量，它的概率密度为f_X（x）（-∞<x<+∞），则Y=g（X）的分布函数F_Y（y）可通过计算概率

得到，即进一步还可得Y的概率密度f_Y（y）.

特别地，当y=g（x）在f_X（x）≠0的区间上为单调函数，且除个别点外处处可导时，Y=g（X）的概率密度f_Y（y）可按以下公式计算：

其中，I是g（x）在f_X（x）≠0的区间上的值域，x=h（y）是y=g（x）在该区间上的反函数.

【典型例题】

例7.8.1 设随机变量X的分布律为

，求随机变量Y=（X-2）2的分布律.

精解由Y=（X-2）2知g（x）=（x-2）2，由g（0）=4，g（1）=1，g（2）=0，g（3）=1知Y全部可能取的值为0，1，4，并且

P（Y=0）=P（X=2）=0.6，

P（Y=1）=P（X=1）+P（X=3）=0.3，

P（Y=4）=P（X=0）=0.1，

所以，Y的分布律为

例7.8.2 设随机变量X的分布律为

，求随机变量Y=的分布函数F_Y（y）.

精解先算出Y的分布律.记，则由

g（4n+1）=1，g（4n+2）=0，g（4n+3）=-1，g（4n+4）=0（n=0，1，2，…）知Y全部可能取的值为-1，0，1.由于(www.chuimin.cn)

因此，Y的分布律为.从而Y的分布函数为

例7.8.3 已知随机变量X的概率密度为f_X（x），求随机变量Y=aX+b（a≠0）的概率密度f_Y（y）.

精解显然y=ax+b是单调可导函数，其反函数为设y=ax+b在

f_X（x）≠0的区间上的值域为（α，β），则f

注（ⅰ）本题的结论是常用的，应记住.

（ⅱ）本题的两个特例：

当X～N（μ，σ²）时，Y=aX+b（a≠0）～N（aμ+b，a²σ²）；

当X～U（a，b）时，Y=cX+d（c≠0）服从均匀分布，其中当c>0时，Y～U（ca+d，cb+d）；c<0时，Y～U（cb+d，ca+d）.

例7.8.4 设随机变量X的概率密度为求随机变量Y=e^X的概率

密度f_Y（y）.

精解首先，注意y=g（x）为y=e^x，它在f_X（x）≠0的区间（0，+∞）上单调可导，值域为（1，+∞），反函数x=h（y）=lny，所以由计算公式得

例7.8.5 对随机变量X的下列概率密度f_X（x），求随机变量Y=X²的概率密度f_Y（y）：

（1）

（2）

精解（1）在f_X（x）≠0的区间（0，1）内，y=g（x）=x²单调可导，值域为（0，1），反函数为x=h（y）=y，所以由计算公式得

（2）在f_X（x）≠0的区间（-2，1）内，y=g（x）=x²不是单调的，所以需计算Y的分布函数F_Y（y）.由分布函数的定义得

F_Y（y）=P（Y≤y）=P（X²≤y）.（1）

其中，y<0时，P（X²≤y）=P（）=0，y≥0时，

下面根据的相对关系分三种情形计算式（2）右边的积分：

（1）当0≤y<1时，，所以

（2）当1≤y≤4时，，所以

（3）当y>4时，，所以

将以上计算代入式（1）得

因此Y的概率密度