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随机事件独立性的定义、性质与解析

2023-10-27 理论教育版权反馈

【摘要】：【主要内容】1.随机事件独立性的定义（1）两个事件独立性的定义设A，B是事件，如果P（AB）=P（A）P（B），则称A与B相互独立，简称独立；否则称A与B不独立.（2）三个事件独立的定义设A，B，C是事件，如果A，B，C中任意两个都是独立的，则称A，B，C两两独立；如果A，B，C两两独立，且满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C），则称A，B，C相互独立，或简称独立.2.随机事件独立的性质设A，

【主要内容】

1.随机事件独立性的定义

（1）两个事件独立性的定义

设A，B是事件，如果P（AB）=P（A）P（B），则称A与B相互独立，简称独立；否则称A与B不独立.

（2）三个事件独立的定义

设A，B，C是事件，如果A，B，C中任意两个都是独立的，则称A，B，C两两独立；如果A，B，C两两独立，且满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C），则称A，B，C相互独立，或简称独立.

2.随机事件独立的性质

设A，B，C都是事件，则

（1）当P（A）>0时，A与B独立的充分必要条件是P（B|A）=P（B）.

（2）四组事件：A与B，A与，与以及A与B中有一组的两个事件独立时，其余

各组的两个事件必独立.

（3）A，B，C独立时必两两独立.

（4）当A，B，C独立时，，，C；，，C；…；，，各组的三个事件也必独立.

【典型例题】

例7.3.1 （单项选择题）将一枚硬币独立地掷两次，记事件

A₁={掷第一次时，出现正面}，

A₂={掷第二次时，出现正面}，

A₃={正、反面各出现一次}，

A₄={正面出现两次}，则（）.

A.A₁，A₂，A3相互独立 B.A₂，A₃，A₄相互独立

C.A₁，A₂，A3两两独立 D.A₂，A₃，A₄两两独立

精解首先注意，如果选项A正确，则选项C必正确，这对单项选择题来说是不可能的，所以排除选项A，同样排除B.

由于，，，

所以P（A₂A₄）≠P（A₂）P（A₄），由此可知A₂与A₄不独立，即A₂，A₃，A₄不两两独立，选项D应排除.

因此本题选C.(www.chuimin.cn)

例7.3.2 （单项选择题）设A，B是事件，它们满足0<P（A）<1，0<P（B）<1，且，则（）.

A.A与B互不相容 B.A与B对立

C.A与B不独立 D.A与B独立

精解由题设得

P（A|B）=1-P（A|B）=P（A|B）.由此可知，B发生与否不影响A发生的概率.所以A与B独立.

因此本题选D.

例7.3.3 设独立事件A，B都不发生的概率为，且A发生而B不发生的概率与B发

生而A不发生的概率相等，求P（A）.

精解由题设知，

即P（A）-P（AB）=P（B）-P（AB），所以P（A）=P（B）.

此外，由A与B独立知与独立，所以由得，

即，从而

例7.3.4 甲、乙两人独立地对某一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，求它是被乙击中的概率p.

精解引入事件：

A={甲击中目标}， B={乙击中目标}， C={目标被击中}.

由于C=A∪B，所以概率，（1）

其中 P（BC）=P（B（A∪B））

=P（AB∪B）=P（B）（由于AB⊂B，所以AB∪B=B）

=0.5，

P（C）=P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）

=P（A）+P（B）-P（A）P（B）（由于A与B独立）

=0.6+0.5-0.6×0.5=0.8.

将它们代入式（1）得